18 février 2009

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  • L’erreur comme source de progrès en mathématiques ?

    le 18 février 2009 à 15:19, par Charles Boubel

    Le résultat de Cauchy de 1813 n’est-il pas que si deux polyèdres convexes de l’espace euclidien ont même combinatoire et si leurs faces correspondantes sont identiques, ils sont superposables ? Ou bien Cauchy a-t-il commis une erreur d’énoncé, et pas seulement de preuve ?

    Ce résultat est faux en général si le polyèdre n’est pas convexe. Voir notamment le « flexaèdre » bien connu, par exemple ici (je n’ai pas trouvé sur le net de photo plus grande).

    Pour les non-habitués : il s’agit d’un polyèdre, c’est-à-dire matériellement ici d’un assemblage de faces rigides (métalliques) reliées entre elles deux à deux le long de leurs arêtes, par des charnières. Si la construction est convexe, comme un cube par exemple, le solide ainsi construit, une fois totalement refermé, devient « rigide » : les faces ne peuvent plus pivoter les unes par rapport aux autres le long des arêtes. La forme du cube est fixée. C’est ce qu’affirme le théorème de Cauchy. Avec le flexaèdre en revanche, qui est un polyèdre non convexe bien choisi, un (léger) pivotement des faces les unes par rapport aux autres reste possible.

    Si mes souvenirs sont bons, un résultat qui reste vrai est que, malgré le possible pivotement des faces, le volume du polyèdre, lui, ne varie pas.

    Vocabulaire : une forme quelconque du plan ou de l’espace est dite convexe si toute droite qui la traverse la rencontre le long d’une portion de droite d’un seul tenant. Un œuf est convexe, pas une banane.

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    • L’erreur comme source de progrès en mathématiques ?

      le 18 février 2009 à 15:52, par Jean-Marc Schlenker

      Merci pour la remarque, j’aurais en effet pu préciser qu’il faut considérer seulement des polyèdres convexes. En fait tout dépend de la définition d’un polyèdre ; la définition la plus classique est que c’est un domaine borné de R^3 qui est l’intersection d’un nombre fini de demi-espaces. Dans ce sens (qui était je pense celui d’Euclide et de Legendre) un polyèdre est toujours convexe.

      Il existe aussi une définition plus générale, qui autorise des polyèdres non convexes comme celui qui est montré sur la photo. Ces polyèdres sont parfois flexibles, et leur rigidité conduit à des questions que je trouve très intéressantes, mais c’est une autre histoire...

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