Avril, 4ème défi
le 28 avril 2014 à 21:48, par Pierre stro
Bonjour, je suis élève en terminale scientifique et je pense avoir trouvé une réponse à ce défi.
Prenons trois entiers pairs consécutifs quelquonques et nommons les (n-2), n, (n+2).
La somme des carrés s’écrit alors :
S=(n-2)²+n²+(n+2)²=n²-2n+4+n²+n²+2n+4=3n²+8
Or, n est pair, donc n est congru à 0(2)
ainsi, n² est aussi congru à 0(2)
3n² est congru à 0(2)
comme 8 est congru à 0(2), par somme, 3n²+8 est congru à 0(2). On en conclut que S est divisible par 8 pour tout entier n quelconque.
On montre de même qu’il n’existe pas d’entier plus grand que 8 qui divise S :
pour n=0, S=(-2)²+0²+2²=8 , et, par définition, S ne saurait être divisée par un entier plus grand qu’elle-même.
