25 avril 2014

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  • Avril, 4ème défi

    le 28 avril 2014 à 21:48, par Pierre stro

    Bonjour, je suis élève en terminale scientifique et je pense avoir trouvé une réponse à ce défi.

    Prenons trois entiers pairs consécutifs quelquonques et nommons les (n-2), n, (n+2).
    La somme des carrés s’écrit alors :
    S=(n-2)²+n²+(n+2)²=n²-2n+4+n²+n²+2n+4=3n²+8

    Or, n est pair, donc n est congru à 0(2)
    ainsi, n² est aussi congru à 0(2)
    3n² est congru à 0(2)
    comme 8 est congru à 0(2), par somme, 3n²+8 est congru à 0(2). On en conclut que S est divisible par 8 pour tout entier n quelconque.

    On montre de même qu’il n’existe pas d’entier plus grand que 8 qui divise S :
    pour n=0, S=(-2)²+0²+2²=8 , et, par définition, S ne saurait être divisée par un entier plus grand qu’elle-même.

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