21 mars 2014

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  • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

    le 30 mars 2014 à 21:58, par Pierre Colmez

    Je ne vois pas vraiment de raison de croire à la conjecture 1. Elle équivaut à ce que $F_{p-1}$ n’est
    pas divisible par $p^2$ si $p\equiv 1,4$ modulo $5$
    et $F_{2(p+1)}$ n’est pas divisible par $p^2$
    si $p\equiv 2,3$ modulo $5$. Comme, dans ces deux cas, le $F_n$ en question est divisible par $p$, il a une probabilité de $1/p$ d’être divisible par $p^2$, et comme la série des $1/p$ diverge (très très lentement), on aurait plutôt envie de conjecturer qu’il existe une infinité de $p$ pour lesquels $F_{p-1}$ ou $F_{2(p+1)}$ est divisible par $p^2$ (si c’est vrai c’est encore plus improuvable que la conjecture 1 car il pourrait y avoir une vraie raison pour que celle-ci soit juste...). Ce problème est très semblable à celui de l’existence d’une infinité de $p$ tels que $2^{p-1}-1$ soit divisible par $p^2$ (il est divisible par $p$ d’après le petit théorème de Fermat). Ces nombres premiers (de Wieferich car celui-ci a obtenu un critère remarquable pour le premier cas du théorème de Fermat : s’il existe $x,y,z$
    entiers $>0$ tels que $x^p+y^p=z^p$, avec $xyz$ non divisible par $p$, alors $p$ est un premier de Wieferich)
    sont très rares, mais on ne sait pas montrer qu’il en existe une infinité, ni qu’il en existe un nombre fini, ni, ce qui est plus surprenant, qu’il existe une infinité de $p$ qui ne sont pas de Wieferich. L’analogie entre les deux problèmes se voit mieux si on utilise la formule $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n-(-\varphi)^{-n})$
    et que l’on fait de l’arithmétique dans l’anneau ${\mathbb Z}[\varphi]$ au lieu de ${\mathbb Z}$.

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