Une infinité de réponses dont la plus petite est 1+√2.

oui, les nombres qui vérifient cette propriété s’écrivent sous la forme ( n+√(n^2+4) ) / 2, avec n∈N

Avec, tout de même, n différent de 0.

Donc, j’écris que N = truc,bidule et 1/N = 0,bidule.
N - 1/N = truc et truc est un entier.

Je mets au même dénominateur, qui est N et qui est différent de 0, et j’ai alors : N^2 - 1 = truc.N ou encore N^2 - truc.N -1 = 0.

Une bonne vieille équation du second degré qui me donne comme solution : N = (truc + (truc^2 + 4)^(1/2))/2.

Et c’est vrai que pour truc = 1, cela ne marche pas pourtant, la mise en équation ne l’empêche pas...

Ah mais oui mais 1/N ne peut pas être égale à zéro donc on doit s’interdire tous les nombres dont la partie décimale est nulle et donc forcément, comme avec truc = 0 on a N = 1,0000...

Mais alors, où a-t-on démontré que aucun des nombres de la forme générale précédente n’a une partie décimale nulle ?

Il faudrait au moins que (truc^2 +4)^(1/2) soit un entier et que donc (truc^2 + 4) soit égal au carré d’un entier. Ou que la différence de deux carrés d’entiers soit égale à 4. Hum, je prends deux entiers successifs truc et (truc+1) qui me garantissent la plus petite valeur pour la différence de leurs carrés et cette différence est égale à 2.truc+1 qui est impaire et qui ne sera jamais égale à 4.

D’accord !

Si on prend un rectangle ABDC avec AB=N (entier) et AC=1, et si on appelle 0 et 0’ les milieux respectivement des côtés AB et CD, alors la diagonale 0’B du rectangle OBDO’ a pour longueur L=(RACINE(N*N/4+1).

Le cercle de centre 0’ et de rayon L coupe le côté CD en un point M. Le segment CM a pour longueur X= N/2+ L.

Le segment DM a alors pour longueur Y= X-N. Il est facile de vérifier par le calcul que Y=1/X. Nous avons donc X-1/X=N

N étant un nombre entier, X et 1/X ont donc les mêmes parties décimales, et cela quel que soit l’entier N choisi.