superbe article, à garder dans les annales d’IdM. Juste deux petites questions :

• au paragraphe « que sait-on de la distorsion », ne faudrait-il pas inverser le rapport distance à vol de Libellule/distance le long de la courbe ?
• un peu plus bas, si la courbe est fractale, sa longueur, donc sa distorsion, est infinie ?

encore merci, ça doit représenter pas mal de boulot !

Merci pour votre commentaire. Nous avons corrigé la coquille du rapport inversé. Nous avons aussi supprimé le mot fractale qui était là pour suggérer un comportement irrégulier à petite échelle mais qui recouvre effectivement de nombreux objets qui ne sont pas longueur localement finie et n’ont donc pas de distorsion bien définie. Cependant il existe aussi de nombreuses courbes irrégulières mais lipschitziennes et il n’est pas exclu a priori qu’elle aient une petite distorsion.

je dis d’emblée que je ne comprends pas bien cette idée de distorsion telle que l’article la décrit, aussi j’espère ne pas vous ennuyer de mes remarques peut-être naïves.

1°- les distances sur votre noeud trèfle sont, admettons, de 3 et 36 ; pourquoi ne pas prendre, disons, 1 et 38, et même, vu que nous sommes dans un monde caoutchouc, peut-on fixer une distance invariable, vu que les noeuds « palpitent » sans cesse ? ou est-ce que cela signifie que la figure dessinée est considérée comme inamovible et c’est donc un objet géométrique dès le départ, une « ombre » de noeud — parmi une infinité ? à moins de prendre le noeud et son complémentaire d’un coup, en un seul « geste » ?

2°- la libellule est « en-dehors » de la courbe alors que l’escargot est un point variable de celle-ci, est-ce « homogénéiquement » (« structurellement ») juste ? je ne vois donc pas, là-encore, l’aspect « topologique » du problème.

3°- la libellule aurait pu être remplacée par une puce sautant du brin de dessous au brin de dessus, mais l’escargot, lui, n’aura jamais les moyens, par son périple, de savoir qu’il y a des dessous et des dessus, c’est-à-dire des croisements et non des points doubles (par exemple si le trajet s’effectuait à l’intéroeur d’un tunnel). bon ! c’est pas le propos de l’article mais c’est amusant tout de même d’en parler.

4°- une chose nouvelle me semble apparaître fortement (à moins que mes connaissances soient beaucoup trop incomplètes, et alors honte sur moi !) avec cette notion de trajet « noeudien » : c’est de considérer le noeud lui-même comme une variété, infiniment mince, dont la « topologie » reste à investiguer.

josef bayéma, plasticien, guadeloupe.

Superbe article !

Juste pour la complétude, je signale que Luca Studer, étudiant en thèse à Berne, a montré que si un noeud se projète sur le diagramme « standard » du noeud torique (2,q), alors sa distorsion est au moins A*q pour une certaine constante A, ce qui accrédite la conjecture à la fin de l’article. Par contre, Luca a aussi trouvé des projections pour lesquelles la distorsion est en q/log(q), donc ce n’est pas si clair (pour le moment, ces résultats sont dans sa thèse de master mais ne sont pas publiés).