23 avril 2009

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  • Et si les nombres pouvaient être infinis à gauche de la virgule plutôt qu’à droite...

    le 25 avril 2009 à 10:36, par Aurore

    J’ai trouvé votre article très intéressant et compréhensible. Vous faites découvrir un très bel univers des mathématiques. Quels scientifiques ont eu cette idée ? Je suppose que comme souvent ils sont deux ou trois à avoir pensé plus ou moins à la même chose à quelques années d’intervalle ?

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  • Et si les nombres pouvaient être infinis à gauche de la virgule plutôt qu’à droite...

    le 25 avril 2009 à 12:09, par Sylvain Barré

    bonjour,

    C’est Kurt Hensel dans un artcile de
    1897 qui est à l’origine de ces nombres p-adqiues. Il
    a laissé son nom au développement infini à gauche.
    Des spécialistes d’histoire des maths pourraient peut-être
    préciser cette réponse....

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  • Quelques commentaires

    le 28 avril 2009 à 20:49, par Christine Huyghe

    Tout d’abord, merci pour ces explications élémentaires sur les
    calculs en base $5$ et l’introduction aux nombres $p$-adiques en
    général.
    Historiquement, d’autres bases que $10$ ont été utilisées pour la numération, par
    exemple la base $60$ en Mésopotamie
    ou la base $20$ chez les Mayas.
    Et puis, les processeurs de nos ordinateurs travaillent et calculent en
    base $2$, les informaticiens eux-mêmes utilisant regulièrement la base $16$, hexadécimale.
    Concernant les nombres $p$-adiques, infinis à gauche, on les note
    plutôt maintenant par leur développement de Hensel, infini à droite, par exemple,
    on écrira, dans ${\mathbf Q}_5$, \[{1}/{3}=2+3.5+5^2+3.5^3+5^4+\ldots.\] Enfin,
    une référence à propos des nombres $p$-adiques, pour les lecteurs intéressés
    et qui ont un niveau L3 en maths :
    Y. Amice. Les nombres $p$-adiques (PUF)

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    • Quelques commentaires

      le 29 avril 2009 à 09:49, par Sylvain Barré

      Merci pour l’historique des bases, mais ce n’était pas mon propos. Je faisais une allusion à l’enseignement scolaire du moment. Pour la base 2 et l’informatique, j’ai justement choisi de ne pas l’utiliser pour ne pas qu’on croit que je veux seulement dire comment on compte dans une autre base, ou comment calculent les ordinateurs, ce n’est encore pas mon propos.
      Je voulais introduire les p-adiques dans une base assez naturelle avec suffisamment de chiffres : 5 c’est bien. Dans le but de faire un lien avec de la géométrie qui se pratique maintenant.

      Tu peux écrire les 3 petits points ... à droite si tu veux, le développement de Hensel est quand même infini à gauche ! Bizarre ta remarque.

      Sur la référence, bien sûr il y en a plein, mais pour des lycéens, bien moins.

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      • Quelques commentaires

        le 29 avril 2009 à 21:47, par Sébastien Martineau

        Merci pour votre article, introduction claire aux 5-adiques. Concernant les rares documents permettant de parler de maths intéressantes pour les chercheurs à un niveau accessible aux lycéens, je ne peux m’empêcher de conseiller les documents de la page de Yann Ollivier : http://www.yann-ollivier.org/mathematiques#vulg

        Il y a notamment une introduction aux p-adiques.

        Merci encore !

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    • A propos du choix de la base

      le 10 juillet 2016 à 03:58, par Bernard Montaron

      Les bases 10, 12, 20, et encore plus 60, presentent l’avantage d’etre divisibles par plusieurs entiers ce qui peut etre pratique dans la vie courante. Par contre dans le monde de l’arithmetique p-adique les bases premieres (p premier) donnent une structure de corps aux ensembles p-adiques, ce qui evite bien des tracasseries !

      Par exemple, les bizarreries des nombres 10-adiques peuvent surprendre : il existe une inifinite de paires de nombres 10-adiques non nuls dont le produit est nul ! Par exemple les deux nombres B =.....74008 17871 09376 et M =....25991 82128 90625. Amusez-vous a poser la multiplication et emerveillez-vous a trouver .....00000 00000 00000. On demontre que l’on peut produire une infinite de chiffres a gauche pour ces deux nombres de maniere que leur produit soit une infinite de zeros a gauche. On dit que l’ensemble des nombres 10-adiques contient des ’diviseurs de zero’ et les arithmeticiens n’aiment pas particulierement ce cas de figure.

      D’autres proprietes de ces deux nonbres sont : B + M = 1, et comme la paire (0, 1) ils sont en fait solutions de l’equation NxN = N. Par consequent toute puissance de B est egale a B, et toute puissance de M est egale a M. 

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  • demander d’explication

    le 26 mai 2009 à 17:00, par youness

    bonjour
    je m’appelles youness et je suis l’un des hommes qui s’interesses au base 10 et j’ai fait quelques recherche en ce qui concerne la base 10
    mais je vous demande de me dire est que dans la multiplication on fait le reste modulo 5 de nombre par exemple 4*3=2[5] oui
    par contre dans la soustraction je ne suis pas sur de votre méthodes veuillez la daitallée un peu
    merci de me repondre

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    • quelques détails

      le 27 mai 2009 à 08:27, par Sylvain Barré

      Bonjour,

      La retenue permet d’emprunter la puissance immédiatement à gauche afin qu’on puisse faire la soustraction dans les entiers. Prenons l’exemple 13 - 22 (écrit en base 5).
      2 ôté de 3 il reste 1. Pas de soucis au début. Puis 2 ôté de 1, il faut emprunter 5 : 2 ôté de 1+5=6 ça donne 4. Mais il ne faut pas oublier la retenue (1), il faut payer ses dettes. On trouvera ....44441 . Bonne lecture !

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  • boulier 5-adique

    le 8 juin 2012 à 07:53, par Pierre MARELLO

    Bonjour à tous,

    Pour toucher du bout des doigts cette histoire de retenue,comme il s’agissait de la base 5, j’ai utilisé ...un boulier ! Pour la division c’est un peu galère, comme d’habitude quand on apprend à calculer ;-). Et on voit bien que pour savoir faire des opérations , il faut connaître ses tables, merci de l’avoir rappelé..

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  • Les nombres infinis a gauche et a droite

    le 9 juillet 2016 à 16:29, par Bernard Montaron

    Si on considere egalement les chiffres apres la virgule ca devient encore plus bizarre.
    Par exemple, en base 5, .....44444,44444........est rigoureusement nul. C’est assez facile de s’en convaincre car si le nombre se termine par n ’4’ apres la virgule suivi d’une infinite de zeros, il suffit de lui ajouter 0,00...001 (n-1 zeros apres la virgule puis 1) pour obtenir zero. Si on fait tendre n vers l’infini on demontre le resultat.

    Ceci se generalise a .....PPPP,PPPP... qui est toujours nul, ou P est une suite de chiffres finie quelconque, par exemple en base 5, P = 2030114. Ce resultat, valable dans n’importe quelle base, date de 1971 lorsque je m’amusais en taupe au Lycee Saint Louis a Paris avec ce que j’appelais alors la bizaritmetique !

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    • Les nombres infinis a gauche et a droite

      le 11 juillet 2016 à 12:20, par Sylvain Barré

      Drôle de chimère où la place de la virgule ne compte plus pour les suites périodiques... on ne peut pas faire grand chose avec cela non ?

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