15 septembre 2014

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  • Le grand angle

    le 15 septembre 2014 à 12:05, par amic

    Article très sympa, j’y avais déjà réfléchi, mais je l’avais toujours pensé avec un raisonnement analytique, en annulant la dérivée de l’angle. Je n’avais pas vu la version constructive géométrique, et elle est très jolie.

    Par contre je connaissais la version encore plus « maths appliquées » qui consiste à savoir où taper une transformation au rugby (en ayant comme hypothèse une précision indépendante de la distance, et pas de difficulté à tirer de loin). On peut alors s’amuser à tracer la courbe des lieux où l’angle est maximal suivant la position de l’essai.

    Ça amène une autre généralisation pour prendre en compte la hauteur de la barre : maximiser l’angle solide sous lequel est vue la demi-bande correspondant à une transformation valide. Je n’ai aucune idée de la solution autre que numérique…

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    • Le grand angle

      le 16 septembre 2014 à 17:23, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Merci pour votre commentaire. Peut-être vous pourriez m’envoyer votre question écrite explicitement (par courrier électronique) ?

      Cordialement,

      Aziz

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      • Le grand angle

        le 17 septembre 2014 à 23:15, par amic

        L’idée est la suivante : on a disons des poteaux de rugby d’écartement 2 et à la hauteur $h$.
        On place l’origine sous les poteaux, au milieu, l’axe des $x$ correspondant à la ligne de but, l’axe des $y$ placé perpendiculairement à l’horizontale, et l’axe des $z$ verticalement.

        De sorte que la partie où on doit faire passer le ballon est le « quadrilatère » $PP’QQ’$ avec $P=(1,0,h)$, $P’=(-1,0,h)$, $Q=(1,0,∞)$ et $Q’=(-1,0,∞)$.

        Si l’essai a été marqué à la position $x$, alors on doit passer la transformation en plaçant le ballon sur un point $B=(x,y,0)$.

        La question est donc : 

        • Étant donné $x$, quel est le $y$ pour lequel l’angle solide correspondant au « quadrilatère » $PP’QQ’$ vu depuis le ballon $B$ est maximal ?

        D’après http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle#Tetrahedron et en posant $r^2=h^2+x^2+y^2$ ($r$ est la distance entre le ballon et le milieu de la barre) j’obtiens si je ne me trompe pas :

        \[ \tan\left(\frac{Ω}2\right)=\frac{2y}{\sqrt{r^2+2x+1}\sqrt{r^2-2x+1}+h\big[\sqrt{r^2+2x+1}+\sqrt{r^2-2x+1}\big]+r^2-1}\]

        Quand on prend $h=0$ et qu’on dérive ça en $y$ pour obtenir le maximum en $y$, on obtient bien que les points de maximum sont sur la courbe $y^2=x^2-1$, la fameuse hyperbole du commentaire de Samuel en-dessous.

        Je ne sais pas à quoi ressemble le lieu des points où $Ω$ est maximal dans le cas cette fois-ci d’un $h>0$.

        De manière générale, y aurait-il une sorte de généralisation du théorème de l’angle au centre, qui puisse nous renseigner sur le lieu des points où un (triangle, disque, quelque chose généralisant le segment) est vu sous un angle solide constant ?

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  • Le grand angle

    le 15 septembre 2014 à 12:10, par Samuel

    Bravo pour cet article. Cela répond également au problème de la position du botteur qui doit transformer un essai, s’il cherche à voir les poteaux sous le plus grand angle (les chances de réussite étant un compromis entre la distance et l’angle). On peut montrer que la courbe des têtes des observateurs situés à la position optimale (plus grand angle) est une branche d’hyperbole.

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    • Le grand angle

      le 16 septembre 2014 à 17:30, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Merci pour votre appréciation. Oui, ce problème du grand angle apparaît dans pas mal de situations de la vie réelle. Ce qui est intéressant, c’est la simplicité de sa nature géométrique ! C’est aussi un outil pédagogique qui mérite d’être montré aux lycéens.

      Cordialement,

      Aziz

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  • Le grand angle

    le 16 septembre 2014 à 08:31, par Dasson

    Une animation FLASH, exemple d’introduction aux fonctions, peut illustrer :
    http://rdassonval.free.fr/flash/sta...

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    • Le grand angle

      le 16 septembre 2014 à 17:31, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Merci pour le lien !

      Cordialement,

      Aziz

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  • Le grand angle

    le 16 septembre 2014 à 10:51, par Bruno Duchesne

    Bonjour,

    au cas où d’autres références sur ce genre de questions vous intéressent, je peux vous conseiller le livre de Ostermann et Wanner « Geometry by its history ».

    Ce problème en particulier apparaît en exercice.

    Bonne continuation.

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    • Le grand angle

      le 16 septembre 2014 à 17:33, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Merci pour la référence. Je ne connais pas ce livre ; je vais essayer de me le procurer.

      Cordialement,

      Aziz

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