15 septembre 2014

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  • Le grand angle

    le 17 septembre 2014 à 23:15, par amic

    L’idée est la suivante : on a disons des poteaux de rugby d’écartement 2 et à la hauteur $h$.
    On place l’origine sous les poteaux, au milieu, l’axe des $x$ correspondant à la ligne de but, l’axe des $y$ placé perpendiculairement à l’horizontale, et l’axe des $z$ verticalement.

    De sorte que la partie où on doit faire passer le ballon est le « quadrilatère » $PP’QQ’$ avec $P=(1,0,h)$, $P’=(-1,0,h)$, $Q=(1,0,∞)$ et $Q’=(-1,0,∞)$.

    Si l’essai a été marqué à la position $x$, alors on doit passer la transformation en plaçant le ballon sur un point $B=(x,y,0)$.

    La question est donc : 

    • Étant donné $x$, quel est le $y$ pour lequel l’angle solide correspondant au « quadrilatère » $PP’QQ’$ vu depuis le ballon $B$ est maximal ?

    D’après http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle#Tetrahedron et en posant $r^2=h^2+x^2+y^2$ ($r$ est la distance entre le ballon et le milieu de la barre) j’obtiens si je ne me trompe pas :

    \[ \tan\left(\frac{Ω}2\right)=\frac{2y}{\sqrt{r^2+2x+1}\sqrt{r^2-2x+1}+h\big[\sqrt{r^2+2x+1}+\sqrt{r^2-2x+1}\big]+r^2-1}\]

    Quand on prend $h=0$ et qu’on dérive ça en $y$ pour obtenir le maximum en $y$, on obtient bien que les points de maximum sont sur la courbe $y^2=x^2-1$, la fameuse hyperbole du commentaire de Samuel en-dessous.

    Je ne sais pas à quoi ressemble le lieu des points où $Ω$ est maximal dans le cas cette fois-ci d’un $h>0$.

    De manière générale, y aurait-il une sorte de généralisation du théorème de l’angle au centre, qui puisse nous renseigner sur le lieu des points où un (triangle, disque, quelque chose généralisant le segment) est vu sous un angle solide constant ?

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