21 novembre 2014

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  • Novembre, 3ème défi

    le 28 novembre 2014 à 08:23, par André Perrenoud

    Bonjour,

    Très joli problème ! La réponse est 40.

    Solution :

    Prenons le rayon du cercle égal à 1. Soit O le centre du centre du cercle.

    Choisissons un système cartésien Oxy dont l’axe x est horizontal et l’axe y vertical.

    Considérons le point inférieur gauche du petit rectangle et baptisons ses coordonnées (cos(phi) ; sin(phi)).

    L’équation qui donne phi s’écrit (1-cos(phi))/(1-sin(phi))=2

    Pour la résoudre, utiliser les formules trigonométriques exprimant le sinus et le cosinus en fonction de l’angle moitié.

    On trouve tan(phi/2)= 1/2

    D’où sin(phi/2)=1/racine(5) et cos(phi/2)=2/racine(5)

    Le grand côté du petit rectangle vaut (1-cos(phi))=2sin^2(phi)=2/5. Le petit côté vaut 1/5.

    Donc on peut loger exactement 40 petits rectangles dans ce carré

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