17 septembre 2014

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  • Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

    le 18 septembre 2014 à 21:30, par Bernard Hanquez

    Merci pour ce billet qui m’a enfin fait comprendre pourquoi « 1 » n’est pas premier.

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  • Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

    le 18 septembre 2014 à 23:24, par Rémi Peyre

    Nicolas Bourbaki aurait plutôt dit que la « bonne » définition des nombres premiers est « tout simplement » que

    L’ensemble P des nombres premiers est l’unique partie génératrice minimale du monoïde commutatif N*...

    (OK, je sors) :-P

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  • Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

    le 21 septembre 2014 à 10:52, par yann coudert

    Si 1 n’est pas un nombre premier, c’est donc un nombre composé. Contradiction.

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    • 1 est bien composé

      le 21 septembre 2014 à 12:57, par Patrick Popescu-Pampu

      Bonjour,

      Oui, $1$ est bien composé : il se décompose en le produit d’un
      nombre nul de
      nombres premiers ! Reste à comprendre le fait un peu paradoxal
      que si on multiplie $0$ nombres premiers, on obtient $1$. Cela est
      basé sur le fait que si on multiplie d’abord les nombres premiers
      d’un ensemble $E$ - notons ce produit $\Pi_E$ -, puis ceux d’un ensemble disjoint $F$ - notons ce deuxième produit $\Pi_F$ - alors en multipliant
      les nombres premiers contenus dans l’union de $E$ et de $F$ on obtient
      le produit $\Pi_E \cdot \Pi_F$. Ceci est bien sûr vrai lorsque $E$ et $F$ sont tous les deux non-vides. On cherche à établir une convention qui fasse que ceci reste vrai même si l’un de ces deux ensembles est vide. Cela force à imposer que le produit de $0$ nombres premiers vaut $1$ ...

      Attention, ce qui est essentiel dans les considérations précédentes, est que l’on regarde l’opération de multiplication des nombres. Si on regarde plutôt l’addition, alors les mêmes considérations forcent à dire que la somme d’un nombre nul de nombres vaut $0$.

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      • 1 est bien composé

        le 22 septembre 2014 à 09:57, par yann coudert

        Ne serait-ce pas plus simple d’admettre que 1 est un nombre premier singulier et de ne pas l’inclure dans la décomposition en facteurs premiers ?

        Personnellement, j’ai du mal à voir dans l’unité un nombre composé.

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        • Convention universelle

          le 22 septembre 2014 à 13:49, par Patrick Popescu-Pampu

          Bonjour,

          En fait ce que j’ai répondu dans mon précédent message n’est pas relié aux nombres premiers, mais est valable pour toute loi de composition associative et avec élément neutre (donc pour tout « monoïde », objet présent dans le commentaire de Rémi Peyre). Dans un tel monoïde (pas nécessairement commutatif), on veut pouvoir parler du produit d’une suite finie quelconque d’éléments, même si cette suite est vide. Pour la raison que j’ai expliqué, on est forcé d’imposer que dans ce dernier cas, le produit est égal à l’élément neutre du monoïde.

          Par exemple, la somme d’une suite vide de vecteurs est égale au vecteur nul, et le produit d’une suite vide de matrices carrées est la matrice identité de même taille.

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          • Convention universelle

            le 22 septembre 2014 à 18:03, par yann coudert

            On est bien d’accord sur la théorie, mais rien n’oblige de l’appliquer à une hypothétique non primalité du nombre 1. Il est plus simple d’admettre une primalité singulière de ce nombre et de l’exclure de la liste des nombres premiers non singuliers. Si 1 est composé, le quotient de n par lui-même est un nombre composé ! Auquel cas n ne peut jamais être premier. De plus, le produit de 1 par un premier donne toujours un premier. Si 1 est composé, il n’y a plus de nombres premiers !

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            • Convention universelle

              le 22 septembre 2014 à 18:14, par Patrick Popescu-Pampu

              Bonjour,

              Et merci pour vos messages, car cet échange me semble instructif pour de nombreux étudiants. Dans mon billet je voulais attirer l’attention sur un mécanisme à l’oeuvre lorsque l’on créé du langage mathématique : le besoin de simplicité des énoncés. Si on appelle $1$ « premier », même « singulier », il faudrait écrire des énoncés et des preuves en disant la plupart du temps « nombre premier non-singulier » plutôt que « nombre premier ». La tradition a choisi la simplicité de dire que $1$ n’est pas premier.

              Par ailleurs, vous utilisez « composé » comme contraire de « premier ». Mais rien n’empêche de dire que $1$ n’est ni premier ni composé ...

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              • Convention universelle

                le 23 septembre 2014 à 09:34, par yann coudert

                D’accord avec vous pour la recherche de simplicité, mais avec 1 nombre composé, ce n’est pas gagné ...

                Je veux juste dire qu’il est très simple (intuitivement) de faire de 1 un premier (le premier des premiers) sans l’inclure dans la liste des premiers (un peu comme le « fou » d’un jeu de cartes).

                Ni premier, ni composé, pourquoi pas ? Mais pour le premier des entiers non nuls, c’est assez bizarre. Par contre, pour 0, cela peut se concevoir.

                Merci à vous.

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                • 1 ni premier ni composé

                  le 1er octobre 2014 à 23:41, par Rémi Peyre

                  Bonjour Yann,

                  Voici une autre façon de voir les choses. Pour $n$ un entier strictement positif, on peut définir la « valuation totale » (c’est moi qui invente le mot ; il y en a peut-être un autre mais j’ignore lequel) $\Omega(n)$ de $n$ comme étant le nombre de nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition de $n$, comptés avec multiplicité éventuelle : par exemple, $\Omega(24) = 4$, car $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$, soit $4$ facteurs premiers.

                  Avec cette définition, on voit qu’un nombre $n$ est premier si et seulement si $\Omega(n) = 1$. Tous les nombres non-premiers sauf le nombre $1$ sont tels que $\Omega(n) > 1$ : on peut donc les décomposer en produit non trivial de nombres premiers, d’où l’appellation « composés ». Et $1$ ? Eh bien, comme l’a fait remarquer l’auteur, on peut le voir comme le produit d’un nombre nul de facteurs premiers, de sorte que $\Omega(1) = 0$. Notez que c’est la seule convention qui soit raisonnable pour $\Omega(1)$, notamment parce que c’est la seule qui continue à vérifier que $\Omega(nm) = \Omega(n)\Omega(m)$ pour tous $n, m \in \mathbf{N}^*$ (propriété qui était en effet vraie pour $n,m \neq 1$).

                  Donc, si j’ose un parallèle, « premier » est à « un » ce que « composé » et à « plusieurs ». Et le nombre $1$ ? Eh bien, on voit alors qu’il doit former une catégorie à lui tout seul, correspondant à... « aucun » ! La logique veut donc qu’on définisse le nombre $1$ comme ni premier ni composé ; et c’est par exemple la définition que retiennent les Wikipédias francophone comme anglophone (voir « Nombre composé », resp. « Composite number »).

                  .

                  Une digression pour finir : si vous voulez étendre l’application $\Omega$ à $0$, la seule solution serait de donner à $0$ une valuation infinie... Pas très heureux :-S Mais on peut considérer que $0$ « triche » dès qu’il s’agit de multiplication, car il “détruit” définitvement tout sur son passage... Pour les nombres négatifs par contre, il n’y a pas de problème : il faut définir $\Omega(-1) \mathbin{:=} 0$ (car $(-1) \times (-1) = 1$, donc $0 = \Omega(1) = \Omega(-1) + \Omega(-1) = 2 \times \Omega(-1)$), de sorte que $\Omega(-n) = \Omega(n)$ ; et on peut même définir $\Omega$ pour tout nombre rationnel non nul par $\Omega(p\mathbin{/}q) = \Omega(p) - \Omega(q)$.

                  Cordialement.

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  • Pourquoi le premier nombre n’est pas un nombre premier

    le 3 octobre 2014 à 12:39, par yann coudert

    Bonjour Rémi,

    Merci de votre message. Un entier > 1 est bien premier quand W(n) = 1. L’essentiel est que 1 ne soit pas composé.

    1 n’est pas premier d’après cette définition, ou alors il est plus que premier. Car c’est le seul entier qui n’est le résultat d’aucune somme d’entiers autre que 0 + 1.

    Cordialement.

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  • Une Preuve que 1 n’est pas 1er

    le 29 juin 2017 à 21:39, par seb16120

    je pose l’assertion suivante :

    Si 10^n + 1, avec n entier quelconques, est la 1ere valeur entier de (a_a)/a
    Alors a est un nombre 1er (sauf pour 1 et 5)

    avec _ = concatenation
    ex :
    13_56 = 1356
    a=73, b=68 : a_b = 7368

    traduis en langage mathématique :

    a_a s’écrit tout simplement m = (10^n + 1)a et m / a = 10^n + 1

    on a alors le théorème : si m possède quatre diviseurs alors a est premier

    ces diviseurs sont : 1, m, a ; 10^n+1 avec n=nombres de chiffres de a
    ex : a=13 donc n=2 donc le 3eme diviseurs de 1313 est 101

    si a=13
    a_a=1313
    les diviseurs de 1313 sont : 1 et 13 ; 101 ; 1313
    donc 13 est 1er

    si a=1
    a_a=11
    les diviseures de 11 sont 1 et 11
    DONC 1 n’est pas 1er

    CQFD

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  • Nouvelle classification des nombres entiers naturels

    le 14 juin 2020 à 19:20, par Jean-Yves BOULAY

    Selon une nouvelle définition mathématique, les nombres entiers naturels se divisent en deux ensembles dont l’un est la fusion de la suite des nombres premiers et des nombres zéro et un. Trois autres définitions, déduites de cette première, subdivisent l’ensemble des nombres entiers naturels en quatre classes de nombres aux propriétés arithmétiques propres et uniques. La distribution géométrique de ces différents types d’entiers naturels, dans de diverses matrices fermées, s’organise en ratios exacts de valeur 3/2 ou 1/1.

    L’article complet « Les nombres ultimes et le ratio 3/2 »

    Document joint : hierarchic_fr.jpg
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