27 avril 2009

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  • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

    le 6 mai 2009 à 08:05, par Marc JAMBON

    Je suis bien convaincu que l’essentiel de l’article est ce qui suit, mais pour comprendre ce qui suit, on aime bien comprendre ce qui précède.

    Le disque de Poincaré

    Je connaissais déjà l’exemple du disque de Poincaré où les géodésiques (lignes de plus courte distance dont vous parlez dans votre paragraphe définition) sont des arcs de cercle orthogonaux au cercle qui délimite le disque. J’ai une bonne compréhension du disque de Poincaré, c’est déjà çà ! La géométrie du disque de Poincaré est à ma connaissance qualifiée d’hyperbolique, je ne sais si vous êtes d’accord. En tout état de cause, il n’y a pas la moindre hyperbole en évidence dans cette géométrie.

    La géométrie non-euclidienne de votre exemple

    Elle ressemble à la géométrie du disque de Poincaré mais ses géodésiques ne sont (semble-t-il) plus des cercles, s’agit-il d’arcs d’hyperboles ? Si oui, comme votre figure (superbe) le suggère, on aurait la justification de la terminologie « géométrie hyperbolique ». Reste à savoir comment se convaincre que ces géodésiques sont bien des arcs d’hyperboles.

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