18 janvier 2015

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 17 janvier 2015 à 17:39, par Hugo Lavenant

    Pour donner un sens mathématique précis au deuxième argument que vous avancez, je proposerais l’assertion suivante : « À cause d’une précision limitée des appareils de mesure, les seuls événements qui ont un sens physique sont ceux de la forme la flèche tombe dans A, où A est un ouvert ». Évidemment que l’on s’intéresse mathématiquement à tous les ensembles boréliens, mais pour faire un travail d’interprétation du monde mathématique vers le monde physique je ne suis pas sûr qu’on puisse donner un sens à tout les événements possibles.

    De plus, je trouve intéressant que pour construire un tel exemple d’événement de probabilité négligeable qui n’est pas impossible, il soit nécessaire de prendre un univers non dénombrable. Si l’univers est dénombrable, les événements négligeables n’arrivent jamais, tout se déroule conformément au sens commun. Donc quelque part je dirais que votre paradoxe montre surtout que le continu (ici le plan R^2) reste quelque chose de dur à appréhender, même quand on l’utilise tout les jours (comme votre public, qui, dites vous, connaît bien les propriétés géométriques des cercles mathématiques).

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 18 janvier 2015 à 18:26, par ROUX

    « une contestation de la légitimité de parler d’une fléchette ponctuelle au sujet d’une expérience physique »

    Oui ?

    La valeur de la constante R de Rydberg est contenue dans l’intervalle ouvert ]R - 0,0000000000066*R , R + 0,0000000000066*R[.

    Je ne sais pas si ma remarque est pertinente mais disons que c’est la plus petite taille de pointe de flèche en physique expérimentale ?

    La définition du point en physique pose très régulièrement des problèmes.

    En optique et en géométrie euclidienne, on dit que tous les rayons issus d’un même point à l’infini sont parallèles et on dessine une série de droites parallèles qui ne sont pas confondues.

    Il existe toujours au moins un(e) élève qui dit que ces droites parallèles pas confondues ne peuvent pas passer par un même point.

    Alors, le(la) professeur(e) dessine au tableau une Lune de la taille de la Lune vue à l’œil nue et trace, délicatement, un point sur cette Lune. Puis, il fait faire une estimation de la taille réelle que ce point couvre et on tombe rapidement sur le fait que, compte-tenu de l’échelle, le point couvre facilement plusieurs centaines de kilomètres carrés de surface de la Lune. Le(la professeur(e) est sauvé(e) ; puisque ce point couvre réellement plusieurs centaines de kilomètres carrés de la surface de la Lune, c’est qu’il en part une grande quantité de rayons lumineux représentés par des droites parallèles entre elles et pas confondus...

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 19 janvier 2015 à 00:45, par Benoît Rittaud

    En effet, la difficulté d’appréhender le non-dénombrable joue sans doute un rôle important, et c’est une piste à creuser : en un sens, l’expérience ici proposée est une mise en scène d’un paradoxe qui lui est lié.

    Ce qu’il faut bien voir aussi, il me semble, c’est le refus si fréquent de se placer dans la situation abstraite d’une flèche ponctuelle. Un refus au nom duquel on veut en quelque sorte « obliger » le raisonnement à être de nature physique plutôt que mathématique. Un peu comme si l’énoncé « deux droites non parallèles se coupent en un seul point » était contesté au profit de l’énoncé « deux droites non parallèles se coupent en un losange » (les portions de droites dessinées étant toujours des bandes). L’idéalité mathématique de la géométrie étant, me semble-t-il, raisonnablement bien acceptée par quelqu’un d’un peu instruit (même sans être mathématicien), il est intriguant de voir combien elle est précipitamment rejetée face au paradoxe présenté ici. Est-ce l’indice de ce que l’idéalité géométrique n’est mieux acceptée que parce que, au fond, elle « dérange » moins les représentations intuitives ?

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    • Le négligeable n’est pas l’impossible

      le 20 janvier 2015 à 09:38, par Hugo Lavenant

      « Est-ce l’indice de ce que l’idéalité géométrique n’est mieux acceptée que parce que, au fond, elle « dérange » moins les représentations intuitives ? »
      À mon avis, il faut répondre de manière positive à cette question : les mathématiques ne sont acceptées par les non mathématiciens que parce qu’elles produisent des résultats conformes à notre intuition. Et votre expérience montre que c’est la légitimité d’appliquer les mathématiques au réel qui va être remise en cause si les résultats ne sont pas conformes au sens commun.

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 20 janvier 2015 à 22:10, par Gabriel

    Je pense que la difficulté est dans le concept d’impossible. Ce qui est advient est impossible, puisque cela sort, du fait même de son advenue, de la possibilité ou de la non-possibilité de son advenue. Le terme « de probabilité nulle » me parait moins ambigu.

    Pour expliquer à mes élèves ce paradoxe, je leur dis que la probabilité, quand on tire au hasard un nombre entre 0 et 1, d’obtenir une valeur approchée de ln(2) à 0,1, à 0,001 près, à 0,0001 près, n’est pas nulle, mais la probabilité d’obtenir ln(2) « avec toutes ses décimales », est nulle. En d’autres termes, on n’observera jamais, dans la nature, un nombre réel.

    Un événement négligeable tel que « ne jamais obtenir pile dans une succession de lancers d’une pièce de monnaie » me parait plus difficile à appréhender. On pourrait imaginer, retiré dans sa haute tour, un maître lancer, depuis des temps immémoriaux, une pièce de monnaie, et obtenir perversement, et sans fin, une suite de face...

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 24 janvier 2015 à 18:02, par Philippe Gay

    Certains paradoxes célèbres (Saint-Pétersbourg ou certaines variantes du Paradoxe des deux enveloppes) utilisent ce fait. Mieux on y trouve en espérance le produit d’une probabilité qui tend vers zéro et un montant en argent qui tend vers l’infini. Cela surprend quelques uns, mais infiniment petit n’est ni nul ni impossible.

    Philippe Gay

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 5 juin 2016 à 11:49, par J.Bennetier

    Je fais partie du « public non averti » qui croit naïvement qu’un événement de probabilité nulle est un événement impossible. Ces notions sont pourtant identiques (par définition) de même qu’un événement de probabilité 1 est un événement certain. Vous mettez cette définition en doute mais en plus vous vous étonnez de la difficulté à en convaincre le public.
    Pour être vraiment convaincant vous devez isoler un événement de probabilité nulle qui se réalise. Par exemple dans votre expérience de lancer de fléchette la preuve de la réalisation d’un événement de probabilité nulle consiste à donner les coordonnées du point atteint. Le pouvez-vous ?

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