13 de marzo de 2015

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  • Mars 2015, 2ème défi

    le 15 de marzo de 2015 à 17:06, par Pierre Renfer

    Le problème en suggère un autre.

    On peut utiliser aussi le lemme de Burnside comme le préconise Idéophage pour chercher le nombre de cubes lorsqu’on identifie cette fois deux cubes qui se correspondent par l’une des 48 isométries du cube, qu’il s’agisse d’un déplacement ou d’un antidéplacement.
    On devrait en obtenir alors un peu moins que 8.

    En plus des 24 déplacements étudiés par Idéophage, il faut alors envisager les 24 antidéplacements :
    Chaque isométrie réalise une permutation sur les 6 faces qu’il s’agit de décomposer en produit de cycles (à supports disjoints).

    • Par la symétrie centrale, comportant 3 cycles de longueur 2, 8 cubes sont invariants.
    • Par l’une des 6 antirotations d’ordre 4, comportant un cycle de longueur 4 et un cycle de longueur 2, 4 cubes invariants.
    • Par l’un des trois miroirs dont le plan est parallèle à une face, aucun cube n’est invariant (sur les 4 faces globalement invariantes, les diagonales ne sont pas conservées).
    • Par l’un des 6 miroirs de plans diagonaux, comportant 2 cycles de longueurs 2 et 2 faces invariantes, 16 cubes sont invariants (sur les faces invariantes les diagonales sont conservés).
    • Par l’une des 8 antirotations d’ordre 6,comportant un cycle de longueur 6, 2 cubes sont invariants.

    Le nombre N de cubes vérifie donc :
    48*N=64+3*16+6*8+8*4+8+6*4+6*16+8*2

    Donc N=7

    On identifie cette fois des cubes énantiomorphes comme disent les chimistes.

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