13 de marzo de 2015

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  • Mars 2015, 2ème défi

    le 17 de marzo de 2015 à 15:06, par Pierre Renfer

    Les diagonales de deux faces parallèles sont ou bien parallèles ou bien orthogonales.

    On peut séparer l’ensemble des 64 cubes fixes en quatre classes C(0), C(1), C(2) et C(3), où C(n) est l’ensemble des cubes comportant n paires de diagonales parallèles.

    Le groupe des isométrie du cube opère séparément sur les quatre classes.

    En utilisant encore le lemme de Burnside, on trouve que les nombres de cubes, à un déplacement près, dans les quatre classes sont respectivement 2, 3, 1 et 2.

    Les nombres de cubes, à un déplacement ou antidéplacement près, dans les quatre classes sont respectivement 2, 2, 1 et 2.

    Parmi les huit cubes, les deux cubes qui se correspondent par un antidéplacement mais non par un déplacement, ont donc une seule paire de diagonales parallèles.

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