Tout cela est fascinant, prodigieux et me donne vraiment envie de me (re)mettre à la géométrie !

Une question aussi : comment avez-vous obtenu les différentes figures, notamment l’inversion du « R » par rapport au cercle, et les dessins juste après le passage « (un peu comme des réflexions secondaires)... ».

Merci beaucoup pour ce bel article !

Bonjour/Bonsoir,
je ne saurais répondre mieux que « A », mais je pense que l’algorithme est proche de :

Pour chaque point (i,j) du « R » faire :

d <- sqrt( (i-o1)^2 + (j-o2)^2 ) ;

d <- r^2/d ;

si i != o1 alors

th <- arctg( (j-o2)/(i-o1) ) ;

sinon ce n’est pas defini, ou alors l’image est « l’infini » ;

x <- arondir à l’entier le plus proche de ( d*cos(th) ) ;

y <- arondir à l’entier le plus proche de ( d*sin(th) ) ;

afficher (x,y) en noir ;

Fin

(x,y) constitue l’image de (i,j) par l’inversion de centre (o1, o2) et de rayon r

Bien évidement, j’ai oublié, quelque chose dans le « si » :
si (i,j != o1,o2) alors l’image n’est pas défini.
comme un ordinateur calcule mal, arctg(infini),
il faut distinguer le cas i=o1, et voir si j-o2 > 0 alors th <- pi/2 sinon th <- -pi/2

voilà, j’espère qu’il n’y a plus de coquilles.

Excellent hommage à cet illustrateur inconnu. On peut se demander pourquoi il n’a pas tracé les « petites copies » de la courbe alors qu’elles étaient esquissées par les cercles déjà tracés. Erreur mathématique ou parti pris graphique de montrer une courbe inachevée ?
C’est un véritable voyage dans le temps (et dans l’espace à 2 dimensions et demi) que de passer de son dessin à l’animation.
A propos d’ensembles limite, de symétries, et de Poincaré, il serait intéressant de rebondir vers la géométrie non euclidienne et de ce que MC Escher a fait à partir du cercle de Poincaré :
http://evangelosaxiotis.files.wordpress.com/2008/10/22-limite-circulaire-i-1958.jpg

http://cybermuse.beaux-arts.ca/cybermuse/servlet/imageserver?src=WI7592&ext=x.jpg

http://gallery.ca/cybermuse/servlet/imageserver?src=WI780&ext=x.jpg

Je viens de découvrir votre site et sauf erreur je n’ai pas trouvé d’article consacré à cet artiste pourtant majeur lorsqu’on parle d’images et de mathématiques. On peut imaginer quelles merveilles l’outil informatique lui aurait fait créer.
J’aimerais tant pouvoir zoomer sur les bords de ses limites circulaires...

Merci pour votre message. Quant au dessinateur, nous avons dit tout ce que nous en savions (et c’est peu).

Vous avez raison, Escher a sa place parmi nos articles. Mais ceci ne nous a pas échappé !

Dans la bande de gauche du site, il y a une fonction « chercher », avec laquelle vous pouvez chercher dans quels articles se trouve le mot « Escher » (par exemple). Voici ce qu’on trouve actuellement :

• Un article de Jos Leys Une chambre hypebolique.

• Escher est aussi mentionné dans un article de Pierre de la Harpe.

Je vous annonce aussi (c’est un scoop !) un article à venir (août ou septembre), toujours de Jos Leys, sur Escher et l’« effet Droste », qui devrait vous plaire.

J’ai lu l’article de Jos Leys sur l’effet Droste, que l’on trouve dans une oeuvre d’Escher, il est vraiment excellent. Ca rejoint évidement un peu cet article.

Chers lecteurs

Je vous propose d’attendre la parution sur ce site de l’article (en français) de Jos Leys et de lui faire part de vos commentaires à ce moment-là.

Ceux que vous postez à propos de cet article (ensemble-limite) ont toutes les chances de ne jamais lui parvenir.

Par ailleurs, je suis moi aussi une adepte de la Vache qui rit, comme je l’ai montré dans un livre récent sur Sofia Kovalevskaya (voir ma page personnelle).

C’est quand même beau des inversions, dommage que ça ne soit plus enseigné.

Cher Arnaud, Chère Michèle,

Juste un mot pour ajouter que la figure en question se trouve dans un article antérieur au livre de Fricke et Klein !
On la trouve en 1894 dans un article dont Robert Fricke est le seul auteur.

Robert Fricke, Die Kreisbogenvierseite und das Princip der Symmetrie
[Math. Ann. 44 (1894), no. 4, 565–599].

Information en provenance de Tushar Das.

Amitiés,

Etienne