10 juin 2009

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  • Un ensemble-limite

    le 12 juin 2009 à 18:41, par AdrienK

    Tout cela est fascinant, prodigieux et me donne vraiment envie de me (re)mettre à la géométrie !

    Une question aussi : comment avez-vous obtenu les différentes figures, notamment l’inversion du « R » par rapport au cercle, et les dessins juste après le passage « (un peu comme des réflexions secondaires)... ».

    Merci beaucoup pour ce bel article !

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    • Un ensemble-limite

      le 14 juin 2009 à 18:02, par Arnaud Chéritat

      Bonjour.

      Il y a plusieurs réponses à votre question selon la façon dont on l’interprète.

      Pour le R j’ai écrit un programme qui transforme une image en son inversion. Pour les réflexions secondaires, j’ai écrit un autre programme. Ces deux programmes calculent les images pixel par pixel. Pour chaque pixel il faut déterminer sa couleur (noir, blanc, violet, ...).

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  • Un ensemble-limite

    le 13 juin 2009 à 14:58, par Ilies Zidane

    Bonjour/Bonsoir,
    je ne saurais répondre mieux que « A », mais je pense que l’algorithme est proche de :

    Pour chaque point (i,j) du « R » faire :

    d <- sqrt( (i-o1)^2 + (j-o2)^2 ) ;

    d <- r^2/d ;

    si i != o1 alors

    th <- arctg( (j-o2)/(i-o1) ) ;

    sinon ce n’est pas defini, ou alors l’image est « l’infini » ;

    x <- arondir à l’entier le plus proche de ( d*cos(th) ) ;

    y <- arondir à l’entier le plus proche de ( d*sin(th) ) ;

    afficher (x,y) en noir ;

    Fin

    (x,y) constitue l’image de (i,j) par l’inversion de centre (o1, o2) et de rayon r

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  • Un ensemble-limite

    le 14 juin 2009 à 11:07, par Ilies Zidane

    Bien évidement, j’ai oublié, quelque chose dans le « si » :
    si (i,j != o1,o2) alors l’image n’est pas défini.
    comme un ordinateur calcule mal, arctg(infini),
    il faut distinguer le cas i=o1, et voir si j-o2 > 0 alors th <- pi/2 sinon th <- -pi/2

    voilà, j’espère qu’il n’y a plus de coquilles.

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  • Un ensemble-limite

    le 17 juillet 2009 à 07:58, par Jim 314159

    Excellent hommage à cet illustrateur inconnu. On peut se demander pourquoi il n’a pas tracé les « petites copies » de la courbe alors qu’elles étaient esquissées par les cercles déjà tracés. Erreur mathématique ou parti pris graphique de montrer une courbe inachevée ?
    C’est un véritable voyage dans le temps (et dans l’espace à 2 dimensions et demi) que de passer de son dessin à l’animation.
    A propos d’ensembles limite, de symétries, et de Poincaré, il serait intéressant de rebondir vers la géométrie non euclidienne et de ce que MC Escher a fait à partir du cercle de Poincaré :
    http://evangelosaxiotis.files.wordpress.com/2008/10/22-limite-circulaire-i-1958.jpg

    http://cybermuse.beaux-arts.ca/cybermuse/servlet/imageserver?src=WI7592&ext=x.jpg

    http://gallery.ca/cybermuse/servlet/imageserver?src=WI780&ext=x.jpg

    Je viens de découvrir votre site et sauf erreur je n’ai pas trouvé d’article consacré à cet artiste pourtant majeur lorsqu’on parle d’images et de mathématiques. On peut imaginer quelles merveilles l’outil informatique lui aurait fait créer.
    J’aimerais tant pouvoir zoomer sur les bords de ses limites circulaires...

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    • Un ensemble-limite

      le 17 juillet 2009 à 13:13, par Arnaud Chéritat

      [Jim] J’aimerais tant pouvoir zoomer sur les bords de ses limites circulaires...

      C’est faisable ! J’ignore si j’ai le temps mais il est peu probable que je résiste à ce défi ;)

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      • Un ensemble-limite

        le 21 juillet 2009 à 18:29, par Jim 314159

        Génial !
        J’ai essayé de faire un zoom local très artisanal avec Photoshop en copiant le motif de base puis en le recollant aux endroits périphériques avec la déformation ad hoc, mais le résultat est évidemment très décevant. Je suppose qu’une routine informatique serait capable de faire ce travail à la perfection (un travail de routine), et aurait l’avantage de pouvoir varier à volonté le facteur de zoom... J’attends donc impatiemment votre réponse à ce défi.
        Au passage j’ai admiré la précision de la gravure d’Escher, insurpassable avec un oeil humain, une main, un outil et une plaque de cuivre.

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  • Un ensemble-limite

    le 17 juillet 2009 à 08:14, par Michèle Audin

    Merci pour votre message. Quant au dessinateur, nous avons dit tout ce que nous en savions (et c’est peu).

    Vous avez raison, Escher a sa place parmi nos articles. Mais ceci ne nous a pas échappé !

    Dans la bande de gauche du site, il y a une fonction « chercher », avec laquelle vous pouvez chercher dans quels articles se trouve le mot « Escher » (par exemple). Voici ce qu’on trouve actuellement :

    • Escher est aussi mentionné dans un article de Pierre de la Harpe.

    Je vous annonce aussi (c’est un scoop !) un article à venir (août ou septembre), toujours de Jos Leys, sur Escher et l’« effet Droste », qui devrait vous plaire.

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    • Un ensemble-limite

      le 21 juillet 2009 à 19:10, par Jim 314159

      Merci beaucoup. En effet, je n’avais pas pensé à utiliser la fonction « rechercher ». L’article sur la chambre hyperbolique est excellent, pédagogique et spectaculaire, et répond tout à fait à mes attentes à propos de la référence à Escher.
      Celui sur la cristallographie m’a également très intéressé, même s’il est plus technique. Il m’a rappelé (via les quasi-cristaux) une autre piste d’image que j’aimerais voir : Serait-il possible de représenter un pavage de Penrose sans limites dans lequel on puisse se déplacer, zoomer et mettre en évidence certains motifs ?

      Un article sur l’effet Droste (que j’appelle plutôt l’effet « Vache qui rit » à cause d’un abyme où je suis tombé tout petit, à l’âge des tartines), quelle bonne idée !
      J’ai réalisé l’an dernier une exposition intitulée « fragments de Sierpinski » (une pièce traversée par un triangle de Sierpinsky la dépassant évidemment) et dans mon texte de présentation, j’ai pas mal parlé de cet effet.
      Je suis donc très impatient de lire cet article.

      Bravo pour votre site qui sait ménager les différents niveaux en mathématiques par les couleurs de pistes. C’est passionnant.

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  • Un ensemble-limite

    le 24 juillet 2009 à 21:42, par Ilies Zidane

    J’ai lu l’article de Jos Leys sur l’effet Droste, que l’on trouve dans une oeuvre d’Escher, il est vraiment excellent. Ca rejoint évidement un peu cet article.

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    • Un ensemble-limite

      le 27 juillet 2009 à 13:08, par Jim 314159

      Vous parlez de ces articles en anglais ?

      http://www.josleys.com/article_show.php?id=82#ref3
      http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=291

      Pourvu que dans l’article en français promis sur ce site, notre bonne vieille Vache qui Rit ne soit pas oubliée, pays du fromage oblige.

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  • Un ensemble-limite

    le 27 juillet 2009 à 14:53, par Michèle Audin

    Chers lecteurs

    Je vous propose d’attendre la parution sur ce site de l’article (en français) de Jos Leys et de lui faire part de vos commentaires à ce moment-là.

    Ceux que vous postez à propos de cet article (ensemble-limite) ont toutes les chances de ne jamais lui parvenir.

    Par ailleurs, je suis moi aussi une adepte de la Vache qui rit, comme je l’ai montré dans un livre récent sur Sofia Kovalevskaya (voir ma page personnelle).

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  • Un ensemble-limite

    le 3 août 2009 à 19:14, par Ilies Zidane

    C’est quand même beau des inversions, dommage que ça ne soit plus enseigné.

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  • Un ensemble-limite

    le 7 janvier 2014 à 14:03, par Étienne Ghys

    Cher Arnaud, Chère Michèle,

    Juste un mot pour ajouter que la figure en question se trouve dans un article antérieur au livre de Fricke et Klein !
    On la trouve en 1894 dans un article dont Robert Fricke est le seul auteur.

    Robert Fricke, Die Kreisbogenvierseite und das Princip der Symmetrie
    [Math. Ann. 44 (1894), no. 4, 565–599].

    Information en provenance de Tushar Das.

    Amitiés,

    Etienne

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    • Un ensemble-limite

      le 8 janvier 2014 à 07:48, par Michèle Audin

      Merci Étienne (et merci à Tushar Das)

      C’est vrai… mais l’article de Fricke est paru entre les deux volumes du livre et se réfère explicitement dès le début à ce livre.

      J’espérais trouver le nom du dessinateur dans l’article… hélas il n’en est rien.

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