21 août 2015

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    le 29 mars 2020 à 18:53, par Hébu

    Dans un triangle $ABC$, on trace les hauteurs $CF$ et $BE$, qui se coupent en $H$ — l’orthocentre. $(FE)$ coupe $(BC)$ en un point $P$. On trace $AP$.

    Soit $M$ le milieu de $BC$. La droite $(MH)$ vient couper $AP$ en un point $Q$, et $MQ$ est perpendiculaire à $AP$.

    .
    La figure en évoque d’autres, rencontrées ou à rencontrer (1.10, 4.8.25, 5.6.1, et sûrement d’autres).

    .
    On va considérer le cercle $(c)$ circonscrit au triangle $ABC$. On trace son diamètre $AA'$. $A'C$ est parallèle à $HB$ (angles $\widehat{CBH}$ et $\widehat{BCA'}$ égaux à $\pi/2-c$). De même, $\widehat{A'BC}$ et $\widehat{BCH}$ sont égaux ($\pi/2-b$), de sorte que $A'B$ et $CH$ sont parallèles. $BHCA'$ est donc un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu : le point $M$ appartient à $A'H$.

    La droite $(MH)$ va donc couper le cercle circonscrit, en un point $Q'$ tel que $AQ'M$ soit droit.

    Reste à s’assurer que $Q$ et $Q'$ ne font qu’un ($Q$ est l’intersection de cette droite avec $AP$).

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    Les points $B, F, E, C$ sont cocycliques, cercle $(c')$, $BC$ étant le diamètre du cercle. On retrouve un autre cercle, $(c'')$, déjà rencontré sur la figure 1.10 : il connecte les points $A, F, H, E$, $AH$ est son diamètre.

    $(BC)$ est l’axe radical de $(c)$ et $(c')$ ; $FE$ celui de $(c')$ et $(c'')$. Ils se coupent en $P$, qui est le centre radical des trois cercles.

    $(AP)$ est donc l’axe radical de $(c)$ et $(c'')$. Les points $Q$ et $Q'$ sont donc confondus

    Document joint : idm4-1-11-2.jpg
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