20 juillet 2015

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  • Plaisir mathématique

    le 20 juillet 2015 à 13:42, par FDesnoyer

    Superbe !
    Pour l’utilisation d’intégrales, ne peut-on tourner autour du mouvement des planètes ?
    Blague rapportée par un policier : un homme ivre est assis dans la rue, incapable de conduire, il déclare à l’agent de police « Puisque la Terre tourne, ma maison finira bien par passer ».
    Merci pour ce court mais passionnant article !

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    • Plaisir mathématique

      le 20 juillet 2015 à 21:09, par FDesnoyer

      Bonsoir,

      ça y est j’ai un exemple : un rectangle est découpé (de façon mesurable) en plusieurs rectangles ayant tous un côté entier alors le grand rectangle a un côté entier. (J’ai perdu le nom de ce théorème célèbre pour ses 17 démonstrations.)

      Amicalement

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      • Décompositions de rectangles

        le 22 juillet 2015 à 07:38, par Patrick Popescu-Pampu

        Bonjour,

        Vous avez raison, c’est un bel exemple d’utilisation d’intégrales. Mais il existe aussi une preuve plus élémentaire passant par l’utilisation d’un échiquier, comme expliqué ici, lien auquel on accède par exemple à partir de cette page.

        La première collection de preuves du théorème que vous citez semble avoir été rassemblée par Stan Wagon, dans l’article d’American Math. Monthly de 1987 cité dans les références de la page précédente.

        Voici en quelques mots la preuve par l’échiquier. On prend notre rectangle décomposé en plus petits rectangles ayant au moins un côté entier, et on le place sur un échiquier dont les carrés ont des côtés de longueur $1/2$, avec les côtés parallèles à ceux de ces derniers. On considère la différence entre l’aire noire et l’aire blanche comprise dans le rectangle. C’est la somme des différences analogues sur les rectangles de la décomposition (propriété d’additivité-clé qui montre que l’on fait dans l’esprit du calcul intégral). On passe alors par le lemme-clé suivant : dans un rectangle ayant ses côtés parallèles à ceux des carrés de l’échiquier, la différence entre l’aire noire et l’aire blanche est nulle si et seulement si au moins l’un de ses côtés est entier ...

        Merci pour votre idée !

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      • Plaisir mathématique

        le 22 juillet 2015 à 19:39, par Jean-Paul Allouche

        Bonjour

        Je n’ai pas réussi à poster mon commentaire hier soir, le site ne répondait plus. Je ne crois pas que ce théorème ait un nom universellement utilisé. Oui en effet l’article de Wagon fait un point sur la question. Il est disponible (gratuitement) ici. Il ne propose en fait « que » 14 démonstrations et pas 17. Il donne aussi quelques éléments sur l’histoire du problème. Une autre référence avec « seulement » une poignée de démonstrations est le livre de M. Aigner et G. M. Ziegler Raisonnements divins chez Springer, pages 195—199 ; ce livre est la traduction en français par N. Puech du fameux Proofs from THE BOOK. Pourtant, même s’il y a effectivement une des démonstrations qui utilise une intégrale double, ce n’est pas me semble-t-il un « calcul d’intégrale », ou à tout le moins ce n’est pas ainsi que j’avais compris la question de Patrick Popescu-Pampu : je tentais pour ma part de trouver une intégrale (ou l’aire d’une figure simple) dont le « calcul » soit inattendu et « amusant »...
        À propos des résultats avec de nombreuses démonstrations (dont un exemple célèbre est le théorème de réciprocité quadratique : Emma Lehmer indique qu’André Weil estimait à environ 150 le nombre de démonstrations de cette loi, voir le livre Reciprocity Laws. From Euler to Einsenstein par F. Lemmermeyer, chez Springer, qui a plus de 500 pages), même si j’admets bien volontiers que de nombreuses démonstrations sont toujours intéressantes voire très souvent éclairantes, je ne peux m’empêcher de penser à une remarque ironique de Didier Nordon qui demande « innocemment » si le fait de donner plusieurs démonstrations pour un même résultat ne serait pas une preuve qu’on est plus convaincu de la justesse d’un résultat lorsque l’on en accumule les preuves...

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        • Intégrales

          le 22 juillet 2015 à 23:10, par Patrick Popescu-Pampu

          Bonsoir,

          Et merci pour ces références détaillées et pour vos commentaires.

          Au sujet des intégrales, je n’avais pas un sens très précis en tête pour ma question. Il peut en effet s’agir de montrer une utilisation surprenante d’un calcul d’intégrale, ou bien une manière spéciale de faire un tel calcul ... Dans les deux cas, le plaisir viendrait de la surprise. Il y a aussi bien sûr le plaisir venant d’une sensation de prouesse à avoir réussi là où d’autres échouent, mais je pense que là on perd toute spécificité mathématique. Et c’est un plaisir plus difficile à faire partager. Dans mon billet j’ai essayé de dégager un certain type de plaisir lié vraiment à l’activité mathématique - ou de recherche - et qui soit en même temps facile à partager.

          En ce qui concerne la recherche d’une multiplicité des solutions, dans certains cas elle est motivée par la quête d’une telle solution qui puisse s’étendre à un contexte plus étendu. Je crois que c’est la raison pour laquelle Gauss, Eisenstein et à leur suite bien d’autres mathématiciens en cherchaient pour le théorème de réciprocité quadratique (le livre de Lemmermeyer que vous citez est une bonne source pour cela). Par exemple, Gauss lui-même en trouva au moins une qu’il réussit à étendre aux « résidus biquadratiques ».

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