Un triangle ABC. Pour faciliter les calculs a = BC, b = AC et c = AB. (AD), (BE) et (CF) sont les bissectrices intérieures de ABC. d = BD, e = CE et f=AF. Le cercle passant par D, E et F recoupent les côtés en G, H et I : DG = x, EH = y et FI =z. Il s’agit donc de démontrer que x + z = y.
Grace aux pieds des bissectrice on a CD = a-d = $\frac {bd}{c}$, AE = b-e = $\frac {ec}{a}$ et BF = c-f = $\frac {fa}{b}$

Les puissances de A, B et C par rapport au cercles écrivent 3 égalités :

$ f^2-fz = (\frac {ec}{a})^2- \frac{ec}{a}.y$ (1)
$(\frac{fa}{b})^2-\frac{fa}{b}.z = d^2-dx$ (2)
$(\frac{bd}{c})^2+\frac{bd}{c}.x = e^2-ey$ (3)

en isolant x, y et z dans le premier membre et en chassant les dénominateurs il vient :

af²z - aecy = (af)²-(ce)²
bafz + b²dx = (bd)² - (af)²
bcdx - c²ey = (ce)² - (bd)²

En ajoutant les 3 égalités membre à membre et en regroupant les termes en x, y et z il vient :
af(a+b)z - ce(a+c)y + bd(b+c)z = 0

Et les 3 coefficients sont égaux à abc. Il suffit d’en calculer un les autres s’obtiennent par permutations autour du triangle.

Il suffit donc de démontrer que f(a+b) = bc ou avec les notations en point : AF(BC+AC)=AB.AC

AF(BC+AC) = AF.BC+ AF.AC = BF.AC + AF.AC =(BF+AF)AC = AB.AC