28 septembre 2015

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  • 4.3.17

    le 8 mai 2020 à 12:54, par Sidonie

    D est le pied de la bissectrice intérieure en A du triangle ABC. E,F,G sont les points de contacts opposés à A,B,D du triangle inscrit dans ABD. I,L,K sont les points de contacts opposée à A,C,D du triangle exinscrit opposé à A au triangle ACD. Il s’agit de montrer que G,I,K et H,E,L sont alignés.

    AH = AG et AL = AK en tant que bras de tangentes. (AD) étant la bissectrice les triangles AHL et AGK ont un angle égal entre deux côtés égaux donc ils sont égaux et les angles (LA,LH) et (KA,KG) sont égaux.

    Les triangles DGE et DIL sont isocèles, opposés par le sommet donc EGIL est un trapèze isocèle, inscriptible. Dans ce cercle on a (LA,LH) = (IG,IE).

    Le triangle CIK est isocèle donc (KA,KG) = (IK,IC) = (IK,IE) .

    Il vient (IG,IE) = (IK,IE) d’où (IG)//(IK) et donc (IG) = (IK) . Même démonstration de l’autre côté.

    A noter que HL = GK et EL = GI d’où EH = IK

    Document joint : fsp_4.3.17.jpg
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