Février 2016, 2e défi
le 14 février 2016 à 00:31, par C’Me
Moins élégante et plus pénible à lire que les deux premières propositions...
(Excusez les maladresses de rédaction)
Soient a, b, c, d des entiers naturels tous distincts les uns des autres.
On peut modéliser le problème ainsi :
(10a + 8) + (10a + 8) + (10b + 8) + (10c + 8) + (10d + 8) = 100
20a + 10b + 10c + 10d + 40 = 100
10(2a + b + c + d) = 60
2a + b + c + d = 6
# L’ordre n’étant pas important ici, on décide que : b < c < d
# 2a est pair donc b+c+d est pair
# 0 ≤ 2a ≤ 6 donc 0 ≤ a ≤ 3.
Mais si a = 3, alors 2a = 6 donc : b+c+d = 0 ce qui est impossible puisque b, c et d sont tous distincts.
On a donc :
0 ≤ a ≤ 2
0 ≤ 2a ≤ 4
d’où : 2 ≤ b+c+d ≤ 6
Or l’ensemble minimal [b ; c ; d] = [0 ; 1 ; 2] donc : 3 ≤ b+c+d ≤ 6
(désolé, les accolades pour les ensembles ne passent pas sous Spip...)
or b+c+d étant pair, on en déduit que : 4 ≤ b+c+d ≤ 6
donc : b+c+d = 4 ou 6 (nombres pairs)
d’où : 0 ≤ 2a ≤ 2
0 ≤ a ≤ 1
Finalement, il reste que :
si a = 0 alors 2a = 0 et b+c+d = 6
si a = 1 alors 2a = 2 et b+c+d = 4
Si b+c+d = 4, alors : [b ; c ; d] = [0 ; 1 ; 3] (pas d’autres combinaisons possibles avec b, c et d distincts)
or : a = 1 = c est impossible (a et c doivent être distincts) donc b+c+d = 4 est impossible.
On en déduit que : a = 0 et b+c+d = 6
Si a = 0, alors d > c > b > a (ces quatre entiers naturels sont tous distincts et positifs, a = 0 est donc la valeur minimale), donc :
d > c > b ≥ 1
donc au minimum : [b ; c ; d] = [1 ; 2 ; 3]
or si [b ; c ; d] = [1 ; 2 ; 3], alors : b+c+d = 6
donc il n’y a pas d’autre combinaison de valeurs possibles.
La seule solution à cette énigme est donc la suivante :
a = 0
b = 1
c = 2
d = 3
donc :
10a + 8 = 8 (nombre répété 2 fois)
10b + 8 = 18
10c + 8 = 28
10d + 8 = 38
Vérification : 8 + 8 + 18 +28 + 38 = 100 !
(Ouf ! ça fonctionne...)
