12 février 2016

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  • Février 2016, 2e défi

    le 14 février 2016 à 00:31, par C’Me

    Moins élégante et plus pénible à lire que les deux premières propositions...
    (Excusez les maladresses de rédaction)

    Soient a, b, c, d des entiers naturels tous distincts les uns des autres.
    On peut modéliser le problème ainsi :
    (10a + 8) + (10a + 8) + (10b + 8) + (10c + 8) + (10d + 8) = 100
    20a + 10b + 10c + 10d + 40 = 100
    10(2a + b + c + d) = 60
    2a + b + c + d = 6

    # L’ordre n’étant pas important ici, on décide que : b < c < d
    # 2a est pair donc b+c+d est pair
    # 0 ≤ 2a ≤ 6 donc 0 ≤ a ≤ 3.

    Mais si a = 3, alors 2a = 6 donc : b+c+d = 0 ce qui est impossible puisque b, c et d sont tous distincts.
    On a donc :
    0 ≤ a ≤ 2
    0 ≤ 2a ≤ 4
    d’où : 2 ≤ b+c+d ≤ 6

    Or l’ensemble minimal [b ; c ; d] = [0 ; 1 ; 2] donc : 3 ≤ b+c+d ≤ 6
    (désolé, les accolades pour les ensembles ne passent pas sous Spip...)
    or b+c+d étant pair, on en déduit que : 4 ≤ b+c+d ≤ 6
    donc : b+c+d = 4 ou 6 (nombres pairs)
    d’où : 0 ≤ 2a ≤ 2
    0 ≤ a ≤ 1

    Finalement, il reste que :
    si a = 0 alors 2a = 0 et b+c+d = 6
    si a = 1 alors 2a = 2 et b+c+d = 4

    Si b+c+d = 4, alors : [b ; c ; d] = [0 ; 1 ; 3] (pas d’autres combinaisons possibles avec b, c et d distincts)
    or : a = 1 = c est impossible (a et c doivent être distincts) donc b+c+d = 4 est impossible.

    On en déduit que : a = 0 et b+c+d = 6
    Si a = 0, alors d > c > b > a (ces quatre entiers naturels sont tous distincts et positifs, a = 0 est donc la valeur minimale), donc :
    d > c > b ≥ 1
    donc au minimum : [b ; c ; d] = [1 ; 2 ; 3]
    or si [b ; c ; d] = [1 ; 2 ; 3], alors : b+c+d = 6
    donc il n’y a pas d’autre combinaison de valeurs possibles.

    La seule solution à cette énigme est donc la suivante :
    a = 0
    b = 1
    c = 2
    d = 3

    donc :
    10a + 8 = 8 (nombre répété 2 fois)
    10b + 8 = 18
    10c + 8 = 28
    10d + 8 = 38

    Vérification : 8 + 8 + 18 +28 + 38 = 100 !
    (Ouf ! ça fonctionne...)

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