Il me semble 16.

Les multiplicateurs de 164 sont compris entre 610 et 6097 pour donner un chiffre à 6 chiffres.
Or il faut que les multiplicateurs se terminent par 001, 251 ou 501 pour que 164* ???? = ???164.
Donc il y a 1001, 2001, 3001...6001, 1251, 2251, ...5251, 1501, 2501, ...5501.
Donc 6+5+5.

Le nombre à 6 chiffres s’écrit 1000a+164 avec 99<a<1000. Il faut donc que 1000a soit divisible par 164 c’est à dire que a doit être un multiple de 41. Or entre 99 et 1000 il ya 22 multiples de 41.
La réponse est donc 22

On pose le problème ainsi. On veut résoudre l’équation
164*k = 10^3 * y + 164 sous la contrainte 100 000 < 164*k < 1000 000
où k et y sont des nombres entiers.
Ce système est équivalent à
k = 250 y / 41 + 1 sous la contrainte 100 000 / 164 < k < 1000 000 / 164
or k est un nombre entier ce qui impose à y de s’écrire y = 41 * y’ avec y’ un entier (puisque 41 est premier avec 250, c’est-à-dire qu’il n’a aucun facteur entier commun avec lui).
Ceci équivaut alors à
k = 250 y’ + 1 sous la contrainte 100 000 / (164 * 250) = 2,43... < y’ < 1000 000 / (164*250) = 24,39...
y’ étant entier, il y a donc 22 possibilités.

Vérifions,
164 * (250 * 2 + 1) = 82 164 5 chiffres
164 * (250 * 3 + 1) = 123 164 6 chiffres
etc ...
164 * (250 * 24 + 1) = 984 164 6 chiffres
164 * (250 * 25 + 1) = 1 025 164 7 chiffres