26 février 2016

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  • Février 2016, 4e défi

    le 26 février 2016 à 12:13, par Himynameisarno

    On pose le problème ainsi. On veut résoudre l’équation
    164*k = 10^3 * y + 164 sous la contrainte 100 000 < 164*k < 1000 000
    où k et y sont des nombres entiers.
    Ce système est équivalent à
    k = 250 y / 41 + 1 sous la contrainte 100 000 / 164 < k < 1000 000 / 164
    or k est un nombre entier ce qui impose à y de s’écrire y = 41 * y’ avec y’ un entier (puisque 41 est premier avec 250, c’est-à-dire qu’il n’a aucun facteur entier commun avec lui).
    Ceci équivaut alors à
    k = 250 y’ + 1 sous la contrainte 100 000 / (164 * 250) = 2,43... < y’ < 1000 000 / (164*250) = 24,39...
    y’ étant entier, il y a donc 22 possibilités.

    Vérifions,
    164 * (250 * 2 + 1) = 82 164 5 chiffres
    164 * (250 * 3 + 1) = 123 164 6 chiffres
    etc ...
    164 * (250 * 24 + 1) = 984 164 6 chiffres
    164 * (250 * 25 + 1) = 1 025 164 7 chiffres

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