La question que je me pose en lisant votre article est de savoir si le problème vient d’un manque d’apprentissage de la géométrie plutôt que d’une approche trop formelle des mathématiques. Dit autrement il n’est pas nécessaire de faire plus de cours de géométrie mais il est par contre nécessaire d’insister — en particulier dans les exercices — sur l’interprétation géométrique des résultats et sur leur importance pour développer l’intuition.

Typiquement votre second exemple avec la norme infinie montre l’importance de la vision graphique pour comprendre les différences notions de convergence ; mais la géométrie utilisée, l’aire du triangle, n’impressionneguère par sa technicité.

Bodler

Discussion à bâtons rompus cette semaine entre collègues de maths en lycée, déplorant la place de plus en plus faible laissée à la géométrie dans le secondaire (et notamment la difficulté de faire passer en T^ale S les nombres complexes comme des nombres «actifs»), et la disparition de l’astronomie «géométrique» (notamment les coniques, si formatrices), et voilà que I.M. propose dans la même semaine un article sur «Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths» et «Vie et mort d’un enseignement : la cosmographie». Un grand bravo !
Mais c’est un peu le chant du cygne...

Je rejoins l’auteur de l’article et plus généralement le commentaire de Bodler : l’utilisation du dessin, c’est à dire de l’intuition du ressenti, est sous utilisé dans les classes supérieures au profit de la démonstration très rigoureuse mais aussi très/trop abstraite. Un bon dessin permet et d’un de pouvoir avoir une bonne intuition de comment résoudre un problème ou répondre à une question et de deux de se rappeler facilement de formules mathématiques. Le dessin est bien évidemment utile en géométrie mais il peut comme le fait remarquer Bodler être utile dans toutes les branches des mathématiques. On utilise des cercles pour expliquer et visualiser simplement des ensembles et pour comprendre l’inclusion, l’exclusion, ... Cela peut servir en topologie pour visualiser des notions d’adhérence, de limite, ... Même en algèbre avec les groupes ou les anneaux, je suis sûr qu’un bon dessin permet de mieux comprendre ce que l’on fait. Le dessin bien utiliser permet de donner plus de sens à l’objet mathématique créer et donc le rend plus familier et plus intuitif à utiliser. Cependant le dessin n’est que la première étape après il faut formaliser avec le texte, les formules mathématiques classiques et utiliser une démonstration rigoureuse, car un dessin peut parfois aussi être trompeur. Je conclue par une citation qui semble être de Napoléon: «un bon dessin (croquis) vaut mieux qu’un long discours».

Ah...
Les croquis que je fais pour comprendre la question et faire surgir une solution ne m’ont jamais semblé être de la géométrie.
La géométrie m’est toujours apparue comme une des branches des mathématiques avec ses définitions, ses théorèmes, ses codes; l’un des codes de la géométrie est que la question peut être posée sous la forme d’un dessin.
Mais je ne peux pas écrire que c’est la géométrie que j’ai faite qui me permet de faire des croquis.
Non, je dirais que je fais des croquis lorsque je cherche à faire surgir la solution.
Je dirais que l’absence du réflexe de faire un croquis est lié à la croyance en la rationalité de tout le processus de la découverte d’une solution.
Or, selon moi, le surgissement de la solution, le tout premier éclair, est irrationnel: c’est un surgissement de l’inconscient dans la conscience, comme une bulle dans le champagne qui vient éclater à la surface.
Ce qui est rationnel, c’est que ce que je fais consciemment de ce qui a surgi dans ma conscience en provenance de mon inconscient.
Et, ça, ce n’est jamais dit aux élèves et aux étudiants: il ne leurs est jamais dit qu’un croquis d’aide au surgissement de la solution peut ressembler à un de ses gribouillis qu’on peut faire lorsqu’on est avec quelqu’un(e) au téléphone.
Il n’est jamais dit qu’il y a ce petit moment d’irrationalité qui peut être rendu plus efficace par des croquis...
Mais je crois que Poincaré ou Hadamard ont écrit tout cela beaucoup mieux que moi.
Et puis, je me souviens de ce mathématicien fier de me montrer un livre de mathématiques professionnelles (à son niveau de chercheur) sans un seul dessin (l’objet de la fierté était bel et bien l’absence de dessin).
Et je sais que plane sur les mathématiques cette phrase terrifiante de Deligne: «Que rien ne reste visible de l’effort que comprendre a coûté». Rien de visible: avec une phrase comme celle-là, exit les croquis!!!
Alors, elles et ils ne font pas de croquis sans que les cours de géométrie aient quoique ce soit à y faire.
Et, d’ailleurs, elles et ils ne font jamais de croquis, et donc pas non plus en physique!!!

C’est un problème très vaste et assez compliqué ...

Pour ce qui est de l’enseignement des mathématiques, l’idéal serait sans doute que nous (enseignants) disposions d’ une culture suffisamment riche et diversifiée pour pouvoir proposer, lorsqu’elle est possible et potiellement éclairante, pertinente une intuition géométrique mais c’est rarement le cas.

On est de ce fait dépendant de nos maîtres, des rencontres, des lectures, des «modes» finalement.

Dessiner, mettre en forme, c’est «oser» et selon moi cela demande déjà une forme de maturité mathématique, d’audace sans aller pourtant jusqu’au concept de «dessins d’enfants» de Grothendieck ou de diagrammes de Feynman si lourds de sens.

Il y a des cas où en proposant une image d’un concept (même complètement naturelle) la réaction des élèves/étudiants est violente et où ils vous accusent de les «embrouiller» en les encourageants à visualiser des outils dont ils ont besoin dans un premier temps qu’ils restent «extérieurs.» Comme s’il leur fallait un temps d’adaptation avant de pouvoir leur attribuer une image et donc une certaine «réalité».

Les définitions algébriques, quoique obscures, sont en général plus rassurantes (au début) comme est plus rassurante la géométrique dite «analytique» quand bien même elle ne peut être qu’un aspect des choses.

Bref, il faudrait avoir le choix le plus possible et en tous cas, ne pas négliger, mépriser cette piste du dessin.

Je me souviens étudiante d’avoir consulté à la BU un jour de désoeuvrement l’ouvrage de Claude Paul Bruter : «Comprendre les mathématiques» dont l’aspect géométrique est, si mes souvenirs sont exacts , le fil conducteur.

Si je me rappelle de cet ouvrage 20 ans plus tard, c’est qu’il m’avait marquée parce qu’il présentait les objets sous un éclairage finalement très différent des cours de fac que je suivais.

Je me suis mise en devoir de le retrouver ce matin et voici sur un site de vente en ligne le seul commentaire qui l’accompagne :

« A éviter
12 juillet 2015
Format: Broché
On dit que ce qui se conçoit bien n’énonce bien. Cela ne transparaît pas dans ce livre, qui échoue à présenter les mathématiques de manière simple, et à les faire comprendre.»

Comme quoi ... ;-)