18 mars 2016

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  • Des triangles dorés - Réponse à Philippe Gay

    le 21 mars 2016 à 14:24, par Aziz El Kacimi

    Bonjour,

    Non, vous ne faites pas erreur, enfin presque : on peut voir cet abaque comme donnant
    les puissances d’un réel $\lambda >0$ mais seulement lorsqu’il est dans l’intervalle $]\varphi^{-1},\varphi [$. Il y a mieux que ça, plus simple et sans cette restriction. Étant donné $\lambda \in {\Bbb R}_+^\ast $, on peut construire géométriquement le groupe multiplicatif $\{ \lambda^n:n\in {\Bbb Z}\} $ comme suit.

    1. Sur le plan euclidien ${\Bbb E}$ muni d’un repère orthonormé $(0,\overrightarrow i,\overrightarrow j)$, on considère les points $A=(0,1)$, $B=(0,\lambda )$, $M_0=(1,0)$ et $M_1=(\lambda ,0)$. On note $\Delta $ l’axe des abscisses. Et pour fixer les idées on suppose par exemple $\lambda >1$ (juste pour voir la suite $(\lambda^n)_{n\geq 0}$ croissante).

    2. La parallèle à $(AM_1)$ passant par $B$ coupe $\Delta $ en le point $M_2=(\lambda^2,0)$.

    3. La parallèle à $(AM_2)$ passant par $B$ coupe $\Delta $ en le point $M_3=(\lambda^3,0)$.

    $\cdots $

    4. La parallèle à $(AM_n)$ passant par $B$ coupe $\Delta $ en le point $M_{n+1}=(\lambda^{n+1},0)$.

    $\cdots $

    5. La parallèle à $(BM_0)$ passant par $A$ coupe $\Delta $ en le point $M_{-1}=(\lambda^{-1},0)$.

    6. La parallèle à $(BM_{-1})$ passant par $A$ coupe $\Delta $ en le point $M_{-2}=(\lambda^{-2},0)$.

    $\cdots $

    Vous me direz ce que vous en pensez !

    Cordialement,

    Aziz El Kacimi

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