18 mars 2016

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  • Des triangles dorés

    le 20 mars 2016 à 13:06, par ROUX

    Superbe.
    Pas de débat de ma part (pour l’instant ?)...
    Superbe !

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    • Des triangles dorés

      le 20 mars 2016 à 14:53, par Philippe Gay

      Bravo !
      En fait, si l’on fait varier lambda de 1 à l’infini, on ne voit que deux ensembles de triangles semblables.
      Cet abaque permet de construire géométriquement les puissances entières positives d’un nombre.
      (Si c’est bien cela, votre article est clair. Si j’ai fait une erreur, c’est qu’il est encore plus passionnant).

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      • Des triangles dorés

        le 21 mars 2016 à 09:32, par Philippe Gay

        Pardon, je voulais dire n de 1 à l’infini.

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        • Des triangles dorés - Réponse à Philippe Gay

          le 21 mars 2016 à 14:24, par Aziz El Kacimi

          Bonjour,

          Non, vous ne faites pas erreur, enfin presque : on peut voir cet abaque comme donnant
          les puissances d’un réel $\lambda >0$ mais seulement lorsqu’il est dans l’intervalle $]\varphi^{-1},\varphi [$. Il y a mieux que ça, plus simple et sans cette restriction. Étant donné $\lambda \in {\Bbb R}_+^\ast $, on peut construire géométriquement le groupe multiplicatif $\{ \lambda^n:n\in {\Bbb Z}\} $ comme suit.

          1. Sur le plan euclidien ${\Bbb E}$ muni d’un repère orthonormé $(0,\overrightarrow i,\overrightarrow j)$, on considère les points $A=(0,1)$, $B=(0,\lambda )$, $M_0=(1,0)$ et $M_1=(\lambda ,0)$. On note $\Delta $ l’axe des abscisses. Et pour fixer les idées on suppose par exemple $\lambda >1$ (juste pour voir la suite $(\lambda^n)_{n\geq 0}$ croissante).

          2. La parallèle à $(AM_1)$ passant par $B$ coupe $\Delta $ en le point $M_2=(\lambda^2,0)$.

          3. La parallèle à $(AM_2)$ passant par $B$ coupe $\Delta $ en le point $M_3=(\lambda^3,0)$.

          $\cdots $

          4. La parallèle à $(AM_n)$ passant par $B$ coupe $\Delta $ en le point $M_{n+1}=(\lambda^{n+1},0)$.

          $\cdots $

          5. La parallèle à $(BM_0)$ passant par $A$ coupe $\Delta $ en le point $M_{-1}=(\lambda^{-1},0)$.

          6. La parallèle à $(BM_{-1})$ passant par $A$ coupe $\Delta $ en le point $M_{-2}=(\lambda^{-2},0)$.

          $\cdots $

          Vous me direz ce que vous en pensez !

          Cordialement,

          Aziz El Kacimi

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          • Des triangles dorés - Réponse à Philippe Gay

            le 21 mars 2016 à 18:54, par Philippe Gay

            Merci pour votre réponse rapide.

            C’est encore plus simple et plus efficace que je n’aurais pu imaginer ! Bravo !

            Mais pour revenir au problème initial, ne serait-il pas possible de bâtir une sorte de spirale dont le rayon augmenterait tous les 90° suivant λ à la puissance n (0° : puissance 0, 90° : puissance 1, 180° : puissance 2, etc.) ? (C’est juste une lecture rapide de la figure qui montre l’usage du compas.)

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            • Des triangles dorés - Réponse à Philippe Gay

              le 23 mars 2016 à 08:41, par Aziz El Kacimi

              Bonjour,

              Il y aurait un petit problème : après avoir placé quatre triangles (si je ne me trompe pas),
              on pourrait être amené à repasser par dessus le premier. Peut-être vous avez une idée plus précise et qui évite cela ? Si c’est le cas, ça vaut le coup de voir jusqu’où elle peut mener !

              Cordialement,

              Aziz El Kacimi

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              • Des triangles dorés - Réponse à Philippe Gay

                le 23 mars 2016 à 10:49, par Philippe Gay

                Effectivement, vous avez raison ! Ce serait vite assez lourd et très pénible puisque l’on ferait (si cette idée est correcte) une spirale. Ainsi pour la puissance 4, on repasse sur le premier triangle. Puis encore aux puissances 8, 12, 16, etc. !

                Ce n’est pas tout : on repasse aussi sur les deuxième, troisième et quatrième triangle pour les puissances 1, 2 et 3 modulo 4.

                Bref, cela serait vite illisible. De plus cette spirale n’aurait que 4 points par tour, ce qui est peu.

                Franchement si vous arrivez déjà à faire un tour, c’est que le concept est valide ! Ce serait déjà beau.

                Pour aller plus loin, et sortir un graphe, on peut se contenter d’un programme qui calcule les puissances d’un λ correct, puis les place directement sur un diagramme.

                Comme 4 points par tour n’est pas satisfaisant pour l’œil, je propose d’ajouter (et donc de « tricher ») les puissances rationnelles du type 1/2, 3/2, 5/2. On peut encore aller plus loin en ajoutant toutes puissances non entières que l’on veut (1/360, 2/360, 3/360, etc.). Bien sûr par pur calcul, pas au compas.

                N’hésitez pas à me faire part de vos remarques.

                Je suis ravi d’avoir retenu votre intérêt et heureux d’avoir discuté avec vous.

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  • Des triangles dorés

    le 20 mars 2016 à 14:37, par Aziz El Kacimi

    Merci pour votre appréciation !

    Cordialement,

    Aziz El Kacimi

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