Le résultat est zéro comme on peut s’en assurer si l’on prend le triplet (x, y, z) = (1, -1, 1).

Pour le démontrer il faut premièrement mettre au carré la première expression :
9x^2 + 12xy + 4y^2 - z^2 = 0 (*)
Ensuite il faut injecter la première dans la seconde faisant disparaître z pour montrer que les parties en x, y dans (*) peuvent s’écrire sous la forme demandé.

Oups... Trois inconnues pour deux équations donc, ou cela vaut une infinité de valeurs car on trouvera un truc du genre k fois z (ou x ou y) au carré ou, comme l’a déjà démontré mesmaker, zéro.
Comment fait-on?
La première équation élevée au carré indiquera à combien de x au carré, de y au carré et de xy est égal un z au carré. Il faut de débarrasser de ces xy.
La suppression des dénominateurs de la seconde égalité donnera des xy égal à z facteur d’une somme de x et de y. Le z là-dedans sera remplacé par sa somme de x et y ce qui donnera des x au carré, des y au carré et des xy. En rassemblant les xy, on saura à combien de x au carré et de y au carré est égal un xy et cette égalité sera injectée dans la première équation élevée au carré. On n’aura plus que des x au carré et des y au carré et on aura donc le nombre de carrés de x et de y auquel est égal un z au carré.
Si cette expression N’est PAS égale à 5 carrés de x moins 4 carrés de y alors nous pourrons... Ouille, elle a intérêt à y être égale!!!