La preuve précédente était basée sur le théorème de Pascal — << l’hexagramme mystique >>. Par la suite, mes cogitations autour des figures 6.1.1, 6.1.2, etc. me font proposer une autre preuve, qui s’appuie sur l’homothétie mise en oeuvre dans ces figures.

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Pour rappel : Un triangle $ABC$, son cercle circonscrit $(c)$, et un second cercle $(c')$, tangent à $AB$ et $AC$ en $E, F$ et tangent intérieurement au cercle circonscrit en un point $G$ sur l’arc $BC$.

Il faut établir que le milieu du segment $EF$ est centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.

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On note
$M, N$ les intersections de $(GF), (GE)$ avec le cercle circonscrit. $O$ le centre du cercle circonscrit $(c)$, $P$ celui du cercle intérieur $(c')$.

L’homothétie de centre $G$ qui envoie $(c')$ sur $(c)$ fait de $OM$ la médiatrice de $AC$, de $ON$ celle de $AB$. Ainsi les arcs $AN$ et $BN$ sont égaux, de même que $AM$ et $CM$ ; $CN, BM$ sont donc les bissectrices des angles en $C$ et $B$ du triangle $ABC$.

Elle fait aussi de l’arc $GN$ l’image de l’arc $GE$, d’où on déduit l’égalité des angles $\widehat{GFE}$ et $\widehat{GCN}$ (1) ; de même $\widehat{GEF}=\widehat{GBM}$ (2).

A cet endroit, j’introduis le point $D$, intersection de $EF$ et $CN$.

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Conséquence de l’égalité (1) : le point $F$ se trouve sur la circonférence qui passe par $G, C, D$ (c’est à dire, les quatre points sont cocycliques).

On a aussi : $\widehat{EDG}=\pi-\widehat{GDF}=\widehat{FCG}=\widehat{ACG}=\pi-\widehat{ABG}$, soit $\widehat{EDG}+\widehat{EBG}=\pi$ : les points $B,E,D,G$, sont eux aussi cocycliques, et $\widehat{GEF}=\widehat{GBD}$ (3).

Et si on rapproche (2) et (3), $\widehat{GBD}=\widehat{GBM}$ : les points $B, D, M$ sont alignés, c’est à dire que $BD$ est bissectrice de l’angle $B$ et $D$ est le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$. Il est donc bien sur $EF$, et forcément au milieu.

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Alors, pas forcément plus court que le précédent, mais sans appel de l’hexagramme mystique ...