Janvier 2017, 3e défi
le 20 janvier 2017 à 09:11, par Al_louarn
Soit $n$ un nombre apparaissant deux fois dans la même case. Si on l’écrit sous la forme $n=37q + r$ avec $r < 37$, alors il apparaît dans la colonne $r$ de la ligne $q+1$, et donc il vérifie $n=28(r-1) + q + 1$, d’où $37q + r=28(r-1) + q + 1$, qui se réduit à $4q=3(r-1)$. Donc il existe un entier naturel $k$ tel que $q=3k$, d’où $4k=r-1$, ou encore $r=4k+1$. Les nombres cherchés sont donc de la forme $n=37 \times 3k + 4k +1$, soit $n=115k+1$.
Il est clair que le plus grand ce ces nombres est le nombre total de cases du tableau $37 \times 28 = 1036$. Donc $k$ vérifie $115k+1 \leq 1036$, d’où $k \leq 9$.
La somme cherchée est donc
\[
S=\sum_{0 \leq k \leq 9}{(115k+1)} = 9 + 115\sum_{1 \leq k \leq 9}{k} = 9 + 115 \times \frac{9 \times 10}{2}
\]
\[
S=5184
\]
