8 septembre 2009

18 messages - Retourner à l'article
  • Vive les facteurs

    le 9 septembre 2009 à 09:35, par goulu

    En fait on peut assez facilement additionner des pommes et des poires. Il suffit de préalablement multiplier les poires par un facteur c dont l’unité serait des [pomme/poire]...

    Le tout est alors de déterminer la valeur de c : combien de pommes vaut une poire ? Dans l’indice de Shangaï et dans d’autres classements, l’ambiguité provient de la détermination pour le moins arbitraire de ces constantes, dont parfois on ignore jusqu’au signe.

    Certains classements vont jusqu’à introduire plus de critères qu’il n’y a d’éléments à classer, comme par exemple dans le classement IMD de la compétitivité qui combine 329 données pour classer 57 pays. Dans ce cas il suffit de commencer par établir le classement, puis de résoudre un système d’équations pour obtenir les facteurs...

    J’en parle un peu ici :

    http://drgoulu.com/2009/05/21/unites-et-classements/

    Répondre à ce message
    • Vive les facteurs

      le 1er avril 2010 à 10:49, par pauplin

      Pour additionner les pommes et les poires on peut aussi ruser en remarquant que ce sont des fruits : 2 poires + 3 pommes sont 2 fruits + 3 fruits = 5 fruits. De même 1 lentille et 1 noix de coco font 2 graines... On peut aussi estimer le poids ou le prix des poires et des pommes puis additionner des kilos ou des euros.

      Pour classer de façon approchée 57 pays selon 329 critères sans résoudre d’équations, on peut classer chaque pays selon chacun des critères : on obtient des rangs qui peuvent s’additionner pour obtenir un rang résultant. Mais il faut associer des poids (ici on peut introduire un peu d’arbitraire) aux critères, car être 1er en production de bananes n’a pas le même poids qu’être 1er en taux d’aphabétisation.

      Répondre à ce message
  • Nashi

    le 9 septembre 2009 à 13:02, par Sylvain Barré

    C’est de saison ! Je connais l’unité pomme.poire : c’est le Nashi, j’en ai mangé un hier, récolté dans mon jardin.

    Répondre à ce message
  • Mètres, kilogrammes et secondes

    le 14 septembre 2009 à 20:37, par Pierre Lescanne

    Je voudrais faire plusieurs commentaire sur cet article.

    1. Cette idée d’associer une caractéristique à chaque quantité rejoint ce qui s’’appelle la théorie des types à laquelle il est fait allusion dans l’article Et si on commençait par les fonctions ! dans la note 9. Mais dans la théorie des types on peut associer des types plus sophistiqués que mètre ou seconde.

    2. Il n’y a pas que l’indice de Shangai, j’entendais ce matin Stiglitz rappeler que le PIB ajoute des quantités sans rapport.

    3. La perte de la sonde spatiale Mars Climate Orbiter est due à une erreur dans la transmission des unités de mesure : « certains paramètres avaient été calculés en unités de mesure anglo-saxonnes (livre.seconde) et transmises telles quelles à l’équipe de navigation, qui attendait ces données en unités du système métrique (newton.seconde) ».

    Pierre Lescanne

    Répondre à ce message
    • Mètres, kilogrammes et secondes

      le 15 septembre 2009 à 00:19, par Sébastien Martineau

      Votre seconde remarque vient de me faire prendre conscience de la proximité entre les notions mathématique et courante de rapport. Deux choses sans rapport (une masse et un volume) ne sauraient être comparées directement : il faut effectuer un rapport (une division) pour obtenir des quantités sans unités que l’on peut comparer.

      Répondre à ce message
  • Mètres, kilogrammes et secondes

    le 21 septembre 2009 à 23:08, par Alain Valette

    Le matheux rencontre des nombres avec dimensions quand il a le redoutable privilège d’enseigner devant des physiciens ou des ingénieurs, qui portent - avec raison - un regard plus critique que les mathématiciens sur les objets mathématiques. Exemple, j’ai fait il y a 2 ans un cours de 2ème année sur les transformées de Fourier, $\hat{f}(\lambda)=\int_{\mathbb{R}}exp(-i\lambda t)f(t)\,dt$ ; voulant indiquer que $\lambda$ et $t$ n’ont pas la même nature, je dis : « Voyez, si $t$ est un temps, $\lambda$ est nécessairement une fréquence ». Un physicien : « Mais pourquoi $\lambda$ est une fréquence ? ». Moi : « Parce qu’une exponentielle ne mange que des nombres sans dimension ». Mon physicien : « Mais pourquoi vous ne pouvez mettre que des nombres sans dimension sous une exponentielle ? ». Moi (brève hésitation) : « Ben... pensez à la série de Taylor de l’exponentielle ». Mon physicien a vu tout de suite que, dans la série de exp(x), prendre x en mètres revient à additionner des nombres sans dimension, des mètres, des mètres carrés, des mètres cubes... Et un physicien trouve - heureusement - cela immoral !

    Répondre à ce message
    • Mètres, kilogrammes et secondes

      le 4 décembre 2009 à 14:40, par Jacques Lafontaine

      c ’est vrai l’exponentielle ne mange que des nombres sans dimension. C’est une propriété importante. Elle devient claire si l’on voit l’exponentielle comme une interpolation des puissances entières

      Répondre à ce message
      • Mètres, kilogrammes et secondes

        le 23 mars 2011 à 08:43, par vic20

        Pas clair votre truc. Cela devrait être pareil pour le logarithme alors. Or, par exemple, ln ([Longueur]/[Longueur])=ln([Longueur])-ln([Longueur]). Autre exemple : exp(Cx)=(exp(C)^x) et si Cx est sans dimension, C peut très bien avoir une dimension. Désolé de vous faire perdre vos illusions sur le régime alimentaire de l’exponentielle...

        Répondre à ce message
        • Mètres, kilogrammes et secondes

          le 23 mars 2011 à 09:25, par Étienne Ghys

          Cher Vic20,

          Merci pour votre commentaire.

          Chaque fonction a son domaine de définition et il ne faut pas l’appliquer là où elle n’est pas définie.
          L’application exponentielle par exemple est définie sur des nombres sans dimensions, et pas ailleurs.
          Tout usage sur des nombres avec dimensions mènerait à des contradictions. Cela se voit dans la définition :

          \[\exp(x)= 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ...\]

          Si l’on tentait de définir l’exponentielle d’une longueur par exemple, on ajouterait des mètres, des mètres carrés, des mètres cubes etc... à l’infini. Mieux vaut s’en abstenir.

          Lorsque vous écrivez $\exp(Cx) = \exp(C)^x$ et que vous pensez à $C$ comme un nombre avec dimension, cela n’a pas grand sens car $\exp(C)$ n’a pas de sens...

          Même chose pour le logarithme.

          Je me souviens que mon prof de physique en « maths sups » nous disait toujours que si une formule contient un logarithme, il faut toujours penser qu’on a choisi implicitement une unité. Par exemple, lorsqu’on définit le pH comme le (co)logarithme (décimal) d’une concentration en ions $[H^+]$, il faut ajouter tout de suite que cette concentration est exprimée en mole par litre, ce qui fait que la concentration est en fait devenue un nombre « sans dimension ». Notre professeur nous recommandait même d’écrire $pH = - \log([H^+]/[H^+_0])$ où $[H^+_0]$ désigne une concentration de référence.

          Bien cordialement,

          Etienne Ghys

          Répondre à ce message
  • Mètres, kilogrammes et secondes

    le 3 octobre 2009 à 09:49, par chuy

    C’est vrai ! En tant qu’instit j’ai appris à mes élèves qu’on ne pouvait additionner ou soustraire des carottes et des navets. L’idée ne m’était pas venue qu’il n’en était pas de même pour la multiplication et la division.
    Merci pour cet article qui m’incite à réfléchir sur la pratique qui a été la mienne.(jusqu’à un certain point...)

    Répondre à ce message
  • Mètres, kilogrammes et secondes

    le 10 mars 2010 à 05:43, par fmsanchez

    L’ANALYSE DIMENTIONNELLE A UN ROLE PREDICTIF NON-AXIOMATISE

    Permettez à un ingénieur-physicien de vous faire remarquer que vous mélangez non seulement les pommes et les poires mais, et c’est beaucoup plus grave et symptomatique d’une dérive multi-séculaire, vous entretenez la confusion entre Physique et Mathématiques.

    En particulier, votre article comporte une grave lacune : le rôle prédictif de l’analyse dimentionnelle. C’est une propriété remarquable de la Physique, maintes fois constatée mais jamais expliquée. Mais « ce n’est parce que la tortue a le pas sûr qu’il faut couper les ailes de l’aigle » comme disait Poe.

    La Physique utilise certes les Mathématiques, mais, et c’est essentiel, les Mathématiques ACTUELLES n’impliquent pas la Physique. En particulier, les théoriciens des cordes n’arrivent pas à « particulariser » notre Univers, et concluent au contraire à un « Multivers » où les constantes numériques physiques (par exemple le rapport de masse proton/électron p = 1836,1527) pourraient avoir n’importe quelle valeur. Or ln(p)^ln(p) est très voisin de e^(e^e), ce dernier étant un relativement grand nombre formé de manière économique à partir de e, la constante de Napier, base des logarithmes naturels, notés ln(x).

    Cela prouve que c’est la Physique qui doit orienter l’axiomatisation et non le contraire, mais comme disait un matheux « nous autres mathématiciens sommes d’essence divine », et on s’imagine posséder les axiomes idoines !

    Le danger d’une telle attitude est facilement vérifiable, en appliquant l’analyse dimensionnelle élémentaire prédictive (ADEP), au calcul d’une longueur à partir des 3 principales constantes de la physiques, hormis « c » la célérité luminique, à savoir hbar le quantum de moment cinétique, G la constante de gravitation et m la moyenne géométrique des 3 particules principales de l’atomistique, l’électron le proton et le neutron.

    On obtient ainsi la longueur hbar^2/Gm^3, soit 6,52 x 10 ^25 m alors que le rayon de Hubble est 1,27 x 10^26 m, soit pratiquement le double.

    Ce type d’analyse dimensionnelle prédictive qui consiste à caractériser les ordres de grandeurs pertinents à partir des constantes physiques essentielles pertinentes EST COURRAMMENT UTILISEE par les ingénieurs, en particulier en hydrodynamique où les équations sont complexes. C’est ainsi que j’ai constaté cette corrélation dans mes TROIS PREMIERES MINUTES DE COSMOLOGIE, lors de ma première année sabatique, en Septembre 1997. En effet, j’ai immédiatement rejeté « c » comme étant une constante NON PERTINENTE en cosmologie, car vitesse trop lente pour assurer une cohésion cosmique, (cette élimination de « c » est une chose impensable pour ces axiomaticiens relativistes qui ont prétendu régenter l’univers par quelques équations différentielles).

    Cette formule, parmi d’autres tout aussi révélatrices (en particulier par une autre ADEP qui donne cette fois le soi-disant âge de l’univers à qq % près !!), a été publiée récemment dans un journal américain (voir le site de Bernard Lempel), et dans mon premier ouvrage « Le Pain du Sage »... Que constate-t-on ? puisqu’elle n’a pas été démontrée à partir d’une axiomatique standard, les « scientifiques » s’en désintéressent et baptisent cela « numérologie ».

    Résultat des courses : le résultat ci-dessus a été censuré par l’Académie des Sciences de Paris et autres journaux « scientifiques », censure qui aura sans doute des conséquences terribles pour le prestige de l’institution scientifique, et en particulier pour l’Université d’Orsay. Seul Pecker a osé le publier en 2006, mais comme celui-ci est considéré comme un dissident (il croit que l’expansion est un artéfact de "fatigue de la lumière sans réaliser que l’achromaticité de ce phénomène prouve qu’il ne peut s’agir d’un phénomène d’Optique non-linéaire), cela n’a eu aucune conséquence, et j’ai terminé ma carrière d’enseignant chercheur au plus bas niveau (alors que mon Principe Holographique est reconnu maintenant comme l’un des principaux espoirs pour l’axiomatique future).

    On attend maintenant confirmation des prédictions correspondant à ce que cette formule signifie : LA PERMANENCE DE L’UNIVERS (alors qu’on annone dans le programme du tronc commun de Seconde, suivant en cela la formule malheureuse de Hubert Reeves, qui s’est bien gardé de commenter mon ADEP, que « l’Univers a une histoire »).

    Le comble est que la formule ci-dessus peut s’écrire sous la forme « holographique » que j’avais prévu dans un article « Holic Principle » publié à Cambridge en 1995. L’Université d’Orsay m’a prié de ne pas en parler aux étudiants en module d’orientation, et m’a octroyé ma première année sabbatique en 1997... Maintenant, le Wikipédia bien pensant se désole que le rayon de Hubble soit variable, empêchant l’utilisation du Principe Holographique dans sa rubrique du même nom (P.H.).

    Les paris sont ouverts. Des fortunes à se faire en pariant contre ceux qui croient durs comme fer à la théorie officielle du Big Bang où le rayon de Hubble serait variable (en contradiction formelle avec le calcul ci-dessus puisque les « constantes » utilisées ont été vérifiées comme étant vraiment constantes par l’observation astronomique).

    Votre article « metres, kilogrammes et secondes » fait la même erreur en limitant le rôle de l’A.D.E à la vérification d’homogénéité des formules, oubliant ce rôle prédictif essentiel pratiqué couramment par les ingénieurs.

    En attendant le « clash » historique qui s’annonce, j’espère que vous tiendrez compte de cette remarque pour compléter votre exemple du pendule en ajoutant que l’ordre de grandeur de la période est directement déductible par ADEP. Merci d’avance pour les futurs ingénieurs qui auront à l’utiliser.

    Francis Michel Sanchez,
    Ingénieur de l’Ecole Supérieure d’Optique,
    Dr ès-sciences physiques.

    Répondre à ce message
    • Mètres, kilogrammes et secondes

      le 10 mars 2010 à 07:52, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,

      Merci pour votre long message.

      « ... une dérive multi-séculaire, vous entretenez la confusion entre Physique et Mathématiques. »

      Je ne pense pas avoir entretenu une telle confusion.

      « La Physique utilise certes les Mathématiques, mais, et c’est essentiel, les Mathématiques ACTUELLES n’impliquent pas la Physique. Cela prouve que c’est la Physique qui doit orienter l’axiomatisation et non le contraire, mais comme disait un matheux « nous autres mathématiciens sommes d’essence divine », et on s’imagine posséder les axiomes idoines ! »

      C’est votre point de vue et ce n’est pas le mien... Je ne sais pas quel est ce « matheux » qui s’estime d’essence divine :-) L’interaction Maths-Physique a toujours été d’une grande richesse et a toujours fonctionné dans les deux sens. C’était vrai hier, mais c’est encore vrai aujourd’hui. C’est en tous les cas mon point de vue.

      Le reste de votre texte n’est pas vraiment un commentaire sur mon article.

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
      • Mètres, kilogrammes et secondes

        le 13 mars 2010 à 19:26, par Stephane Bertrand

        Je ne sais pas quel est ce « matheux » qui s’estime d’essence divine :-)

        Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé ;-)

        Répondre à ce message
  • Mètres, kilogrammes et secondes

    le 28 décembre 2012 à 00:45, par nicoflavier

    c ’est vrai l’exponentielle ne mange que des nombres sans dimension. C’est une propriété importante. Elle devient claire si l’on voit l’exponentielle comme une interpolation des puissances entières ! voir le site

    Répondre à ce message
  • Mètres, kilogrammes et secondes

    le 28 décembre 2012 à 20:28, par Ronan

    Bonjours,

    Il y a le probleme de savoir si l’on peut multiplier des pommes et des carottes sans que la multiplication ne coûte une dimension supplémentaire.
    Pour ce genre de sujet sur les unités et le calcul, je préfère quand le mathématicien se compare au géomètre-topographe. il y a des principes de trajet et vitesse en physique dépendant un peut de chaque unité de mesure, il y a toujour un theoreme pour expliquer l’equivalence entre les mesure.

    L’économie doit surpasser la physique en complexité.

    J’ai fait deux vidéos sur le sujet, mais c’est de l’amateurisme. Disons que je suis nostalgique de la philosophie des maths de la Grece antique qui n’avais simplement qu’a penser une forme géométrique pour en décrire ses mécanismes.
    D’ailleur je me demande comment demontrer quoi que ce soit en utilisant V2, enfin bref

    https://www.youtube.com/watch?v=8nqte8CF8d8

    https://www.youtube.com/watch?v=Cw5fS6sIuOI

    Répondre à ce message
  • Mètres, kilogrammes et secondes

    le 30 octobre 2019 à 20:36, par Mickaël

    Bonjour,

    Merci pour cet article que je découvre avec plaisir, et avec lequel je suis en accord.

    J’aurais simplement une remarque à propos de la phrase « Depuis longtemps, les physiciens ont constaté que la quasi-totalité des espèces qu’ils mesurent peut se réduire à trois d’entre elles seulement [1]. »

    Cette phrase laisse penser que cette réduction à trois grandeurs de base est un « constat », imposé par l’expérience, qui ne laisse pas d’autre choix. Tout au contraire, il s’agit d’un choix, libre, imposé seulement par des considérations d’ordre pratique, de tradition, ou de continuité historique.

    Je précise : il est en effet d’usage de décrire les phénomènes mécaniques en prenant trois grandeurs de base : longueur, temps, masse. Comme l’article le souligne, il est possible d’en choisir trois autres : longueur, temps, force, par exemple. Mais il est aussi possible d’en choisir quatre : longueur, temps, masse, surface ; ou bien plus, par exemple : longueur, temps, masse, surface, volume, vitesse, force.
    Il est aussi possible d’en choisir moins de trois : temps et longueur par exemple ; et même une seule, temps par exemple, ou bien énergie (c’est plus ou moins ce que font les physiciens des particules), ou bien vitesse...

    Il est possible de montrer tout ceci, et J’ai d’ailleurs un long texte en écriture sur le sujet...

    Autre commentaire, qui porte sur les commentaires à l’article, qui parlent de la nécessité de l’homogénéité des formules.
    Mon point de vue est que l’homogénéité n’est pas nécessaire, dans le sens où elle n’est pas imposée par la nature ou l’expérience. En revanche, elle est pratique, car elle permet l’utilisation de relations qui ne dépendent pas des unités choisies pour exprimer les grandeurs. C’est donc le choix qui est fait dans la formulation des théories physiques : leurs équations fondamentales sont homogènes.

    Ajoutons à ceci le fait que l’homogénéité d’une formule se conserve après toute suite de manipulation mathématique, et nous arrivons à la propriété importante : une relation non homogène implique une erreur de calcul (puisque les relations fondamentales, elles, étaient homogènes !).

    Bien à vous,.

    Répondre à ce message
  • Multpilication = répétition d’une addition ou... autre chose ?

    le 10 décembre 2019 à 09:20, par Pepper

    Bonjour.
    Je n’espérais pas que Google me propose un résultat pour la requête « pourquoi ne peut-on pas additionner des choux et des carottes mais peut-on les multiplier ? ». Votre article est donc une délicieuse surprise.
    Malheureusement, je crains que mon intervention sur ce forum ne détonne quelque peu avec les contributions précédentes ; je n’ai en effet avec les Mathématiques aucun génie ni aucune proximité particulière, juste une admiration et une fascination toutes béotiennes. Vous me pardonnerez donc, je l’espère.

    Je suis également père d’un garçon de 12 ans et c’est principalement à lui que je dois ma visite sur ce site. En effet, c’est vers cet âge, quand on commence à se pencher avec lui sur ses premiers devoirs « élaborés » de sciences qu’on se rend compte combien les bases des bases dans ce domaine sont essentielles, et combien sont fragiles les nôtres, « parents moyens », malgré une scolarité que l’on croyait solide.

    Et quoi de plus élémentaire que les opérations... élémentaires ? L’addition et la multiplication, une fois ses tables bien apprises, semblent avoir livré tous leurs secrets. Avec des nombres bien entiers, comment ne pas comprendre qu’une multiplication est la simple répétition d’une addition ? L’introduction des nombres relatifs réclame à l’enfant un chouia plus d’’abstraction, mais rien qui ne résiste à l’entendement sur ce schéma simple : a x b = (a + a + ... + a), b fois.

    Tout se gâte - ou du moins s’est gâté pour moi - lorsque le passage des Maths à la Physique a amené avec lui la nécessité des unités. L’addition n’y perd pas sa simplicité : pas bien difficile, en effet, de faire comprendre à l’enfant combien il serait déraisonnable d’additionner des choux et des carottes, des mètres et des secondes, et même des mètres et des centimètres sans prendre la peine de convertir au préalable les opérandes dans la même unité.

    Heureusement, la géométrie et le calcul d’aire des rectangles se révèlent bien pratiques pour légitimer la multiplication de longueurs et introduire la notion de longueur au carré. A ce stade, on glisse néanmoins bien lâchement sous le tapis l’éventualité de pouvoir faire de même avec des secondes ou des newtons, faute de représentations visuelles évidentes.

    Et puis vient le jour où il faut tenter d’expliquer que multiplier des choux et des carottes est bel et bien possible ! Et là, difficile de cacher la fragilité de mes bases élémentaires. Car tant qu’une multiplication se définissait comme la répétition d’une addition, 4 x 3s demeurait l’alias pratique de 3s + 3s + 3s + 3s. Mais comment continuer de convoquer l’addition en explication de la multiplication 4m x 3s ?

    D’où ma question, désarmante : cette utilisation originelle de l’addition comme support de l’explication de la multiplication est-elle légitime ? N’est-elle pas, si ce n’est substantiellement fausse, source d’incompréhensions et de blocage dans le parcours à venir de l’enfant ? Bref, la multiplication est-elle réellement la répétition d’une addition ou est-ce... autre chose ?

    Voilà. Mille excuses, encore une fois, pour le piètre niveau scientifique de cette question.

    Répondre à ce message
    • Multpilication = répétition d’une addition ou... autre chose ?

      le 11 décembre 2019 à 09:33, par Pepper

      Je continue de phosphorer sur le sujet...
      Pourrait-on dire qu’une valeur avec une unité est en fait une multiplication implicite ?
      Du style 3s = 3 x (unité s)
      Dès lors, 4 x (unité m) + 3 x (unité s) ne rimerait effectivement à rien, tandis que 4 x (unité m) x 3 x (unité s) serait bel est bien égal à 12(unité m)(unité s).

      Répondre à ce message
Pour participer à la discussion merci de vous identifier : Si vous n'avez pas d'identifiant, vous pouvez vous inscrire.