5 octobre 2017

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  • Nombres à huit diviseurs

    le 5 octobre 2017 à 13:00, par FDesnoyer

    Bonjour,

    pour la question sur les nombres 3, 5 ou 9 diviseurs, je crois avoir lu (et proposé en exercices à des élèves) qu’un nombre impair de diviseurs était le fait d’un carré parfait non ?
    Cela suffit-il à en expliquer la raréfaction ?
    Une question me saisit sur la convergence de la série des inverses de nombres à 2^k diviseurs selon les valeurs de k ?

    Merci de ce très bel article qui me donne envie de revenir vers l’arithmétique,

    F. Desnoyer

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  • Nombres à huit diviseurs

    le 5 octobre 2017 à 19:06, par Jérôme Germoni

    En effet ! Vous avez doublement raison. On a vu que si $n=p_1^{m_1}\cdots p_r^{m_r}$, le nombre de diviseurs de $n$ est $\tau(n)=(m_1+1)\cdots(m_r+1)$. Si $\tau(n)$ est impair, alors tous les $m_k$ sont pairs (au contraire, si l’un des $m_k+1$ est pair, $\tau(n)$ qui en est un multiple est pair aussi). En écrivant $m_k=2\ell_k$, on voit que $n$ est le carré de $p_1^{\ell_1}\cdots p_r^{\ell_r}$.

    Or la proportion des carrés parfaits entre $1$ et $n$ est environ $\sqrt{N}/N=1/\sqrt{N}$, qui est par exemple bien plus petit que $1/\ln(N)$ : autrement dit, il y a beaucoup moins de carrés parfaits que de nombres à $2$ diviseurs (premiers). C’est vrai asymptotiquement d’après les théorème des nombres premiers et pour les premières valeurs, eh bien... à vos calculettes !

    Quant à votre question sur la série des inverses, je vous invite à renverser la situation et à vous en emparer ! Je vous parie un café que ça diverge systématiquement.

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  • Nombres à huit diviseurs

    le 15 octobre 2017 à 21:22, par FDesnoyer

    Mince, j’avais répondu :-(
    Nous disions donc : d(n)=8 ssi n=p^3*q avec p,q premiers (ok jusque là je comprends)

    la série diverge donc (ce dernier donc est le fruit d’une réflexion rapide et brillante mais dont je ne suis pas l’auteur)
    étant notoirement peu brillant en analyse, je me laisse un peu de temps avant de vous envoyer une capsule de café par la poste ?

    Merci beaucoup pour vos articles en tout cas :-)

    F.D.

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