Un tout petit programme pourrait faire l’affaire, mais faisons plutôt des maths...
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ donc $\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}=\frac{(a-b)^2+3ab}{(a-b)^2}=1+\frac{3ab}{(a-b)^2}$.
D’où $\frac{3ab}{(a-b)^2}=\frac{70}{3} \iff \frac{(a-b)^2}{3ab}=\frac{3}{70} \iff \frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{9}{70} \iff \frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}=\frac{9}{70}$
$\iff \frac{a}{b}-\frac{149}{70}-\frac{b}{a}=0$.
En posant $x=\frac{a}{b}$, on obtient $x^2-\frac{149}{70}x=1=0$, équation qui a deux solutions : $\frac{7}{10}$ et $\frac{10}{7}$.
Comme $15>a>b>0$, alors $a=10$ et $b=7$, d’où $a-b=3$.

Oups ! À l’avant-dernière ligne, il faut évidemment lire $x^2-\frac{149}{70}x+1=0$.

Les valeurs entières de $\frac{a^3-b^3}{a-b}$ sont tous les entiers de la forme $3n^2+3n+1$, $n \in \mathbb{N}$.

Généralisation :
Supposons $\frac{a^3-b^3}{a-b}=\frac{p}{q}$ avec $a$ et $b$ entiers tels que $a>b>0$, $pgcd(a,b)=1$, $p$ et $q$ entiers tels que $p>q>0$ et $pgcd(p,q)=1$,
En posant $x=\frac{a}{b}$, on obtient $x^2-\left ( 2+\frac{2p+q}{p-q} \right )x+1=0$.
D’où $x=\frac{2p+q+\sqrt{3q(4p-q)}}{2(p-q)}=1+\frac{3q+\sqrt{3q(4p-q)}}{2(p-q)}=1+\frac{N}{D}$.
Si $N \in \mathbb{N}$, on obtient finalement : $a-b=\frac{N}{pgcd(N,D)}$.

Fait remarquable
Si $p$ et $q$ sont premiers et tels que le problème précédent (généralisation) a une solution (i.e. des valeurs entières pour $a$ et $b$), alors $q=3$ et $p$ est de la forme $6k+1$...

autre proposition :
a-b <15
On a 3( a^3-b^3) = 73 ( a-b)^3, pgcd(3,73)=1 donc 3 divise (a-b)^3, et comme 3 est premier 3 divise donc a-b.
a -b = 3 ou 9 ou 12.
mais ( a-b)^3 = 3( a^3-b^3)/73 < ou égal 3*14^3/73<113, seul a -b = 3 peut convenir.
si a - b = 3 alors a = b+3, on obtient ainsi l’équation b² +3b -70 = 0, cette équation admet 7 comme solution et donc a = 10.
On vérifie aisément que ces solutions conviennent.
donc a-b = 3 avec a = 10 et b =7
Rmq :
si a-b = 12, on obtient b² +12b -1120 = 0, cette équation a une solution entière positive, b =28 donc a = 40 mais ces nombres sont supérieurs à 15.

3x(a³-b³)=73(a-b)³
3x(a-b)³-9(ab²-a²b)=73(a-b)³
70(a-b)³= 9ab(a-b)
(a-b)²=9ab/70
En décomposant 70 = 7 x 5 x 2
9 n’est pas divisible par 7, 5 ou 2 donc ab doit l’être : (a,b) = (14,5) ou (10,7)
d’où (a-b)² =9
donc a-b= 3

Intéressant, la plupart des commentaires cherchent a et b pour déterminer leur différence. Ici sans connaitre les valeurs de a et b, on peut trouver a-b. Après développement de la fraction on obtient :
(a-b)² / ab = 3² / 70
a et b étant entiers, 3 non divisible par 7 ou 2 ou 5, on en déduit que a-b=3

Note : Pour trouver a et b, il suffit d’appliquer x²-Px+S=0 avec P=(-a)b=70 et S=(-a) +b=3.