Soit $n$ le nombre de côtés, $\alpha$ l’angle en chaque sommet, et $O$ le centre du polygone.
On calcule la somme des angles de $OBC$. On a $\widehat{BOC} = \frac{360}{n}$ et $\widehat{OBC}=\widehat{BCO}=\frac{\alpha}{2}$ donc $\frac{360}{n} + \alpha = 180$, puis $n=\frac{360}{180 - \alpha}$.
Pour trouver $\alpha$ on fait la somme des angles de $ABC$. On a $\widehat{ABC} = \alpha$ et $\widehat{CAB}=\widehat{BCA}=\alpha-120$, donc $\alpha + 2(\alpha - 120) = 180$, puis $\alpha=140$.
On en déduit $n=9$.

Pour n côtés, l’angle AOC est égal à 2*360/n=4*180/n.
L’angle ACO vaut donc [180-4*180/n]/2.
L’angle COD vaut 360/2n=2*180/n.
L’angle OCD vaut donc [180-2*180/n]/2.
L’angle ACD est égal à la somme de ACO et de OCD soit 90 - 360/n + 90 - 180/n ou encore 180 - 180*3/n ou 180*(n - 3)/n.
On résout alors 180*(n - 3)/n = 120 qui donne n = 9.

Dans le triangle ACD, la somme des angles intérieurs $\widehat{CAD}+\widehat{CDA}=60^\circ$. L’angle $\widehat{CDA}$ est le double de l’angle $\widehat{CAD}$ car il sous-tend l’arc $ABC$ qui est le double de l’arc $CD$. Donc $\widehat{CAD}=20^\circ$ et $\widehat{CDA}=40^\circ$.
Les angles $\widehat{CBD}$ et $\widehat{CAD}$ sont égaux, car ils ont leurs sommets à la circumférence et ils sous-tendent le même arc $CD$. Les angles $\widehat{BCA}$ et $\widehat{CBD}$ sont égaux par symétrie.
Donc $\widehat{BCD}=\widehat{BCA}+\widehat{ACD}=140^\circ$. Alors $\widehat{BCO} =70^\circ$ et $\widehat{BOC}=40^\circ$.
Enfin le polygone a $360^\circ / 40^\circ = 9$ côtés.

La solution que je préfère a été écrite par amic. Elle est simple et belle, au sens du libre de Eordos. Chapeau !

Circonférence et non circumférence. Pardon.