Oups ! Je n’avais pas vu la remarque finale… Autant pour moi ! :-S

Il me semble assez simple de montrer qu’un point M à l’intérieur du triangle ABC tel que MA+MB+MC soit maximum ne peut pas exister strictement à l’intérieur du triangle, il est donc sur l’un des côtés.
En effet, s’il était strictement à l’intérieur du triangle, considérons l’ensemble F , réunion des points du disque fermé de centre C passant par M, de l’ellipse de foyer A et B passant par M et de son intérieur.
M est sur la frontière de cette partie fermée, tout voisinage de M à l’intérieur du triangle ne peut donc être inclus dans le fermé F. Il contient donc des points M’ tels que M’A+M’B+M’C > MA+MB+MC.

Ensuite si on place M sur un côté du triangle [AB] par exemple, et si M est différent de A et B , parmi les 2 segments [MA] ou [MB], nécessairement l’un d’entre eux [MA] par exemple contient des points qui nous éloignent de C.

Un point M’ différent de M sur [MA] vérifie donc M’A+M’B+M’C= AB+M’C > AB+MC=MA+MB+MC.

Le point M recherché est donc un sommet du triangle,
pour obtenir la somme maximum qui va être égale à la somme de 2 côtés du triangles,
on prend évidemment le sommet des deux côtés de plus grandes longueurs,
on obtient donc AB+AB+BC - inf (AB , AC , BC)