Considérons le polynôme $P = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc$. De l’identité $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$, on déduit $ab+ac+bc=\frac{24^2-210}{2}=183$. D’où $P=x^3-24x^2 + 183x -440 = (x-5)(x-8)(x-11)$, $\{a,b,c\}=\{5,8,11\}$ et $a^3+b^3+c^3=1968$.

On peut supposer $0 < a\leqslant b\leqslant c$.
La première équation impose $\sqrt{70}\leqslant c\leqslant \sqrt{208}$. D’où $9\leqslant c\leqslant 14$.
Comme $440=2^8\times 5\times 11$, on en déduit que $c\in\left\{10,11\right\}$.
Si $c=10$ , alors $ab=44$ et $\sqrt{44}\leqslant b\leqslant c$. D’où $7\leqslant b\leqslant 10$.
Or ceci est impossible car aucun diviseur de $44$ n’est dans cet intervalle. Donc $c=11$.
La première équation devient donc $a^2+b^2=89$, ce qui impose $\sqrt{\frac{89}{2}}\leqslant b\leqslant \sqrt{88}$. D’où $7\leqslant b\leqslant 9$. Comme $b$ divise $40$, on en déduit $b=8$ et $a=5$.
Ainsi, $a^3+b^3+c^3=5^3+8^3+11^3=125+512+1331=1968$.

ARGHH ! Coquille : $440=2^3 \times 5 \times 11$ !!!

a²+b²=210-c², a+b=24-c, ab=440/c
(a+b)²=a²+b²+2ab donc (24-c)²=210-c²+880/c équation qui se ramène à

c^3=24c²-183c+440

En remplaçant c par a puis par b on obtient 3 égalités qui ajoutées membre à membre donnent :

a^3+b^3+c^3=24(a²+b²+c²)-183(a+b+c)+3x440=1968 petit hommage au cinquantenaire auquel nul n’échappe.

Sans calculer a, b, c on a d’une part en développant a+b+c au cube :
(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 6abc + 3a²b+3a²c+3b²a+3b²c+3c²a+3c²b
En comparant avec le produit
(a+b+c)(a²+b²+c²) = a^3+b^3+c^3 + a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b
Qu’on soustrait après avoir introduit un facteur 3 libertin :
(a+b+c)^3 -3(a+b+c)(a²+b²+c²) = 6abc -2(a^3+b^3+c^3)
ce qui donne
a^3+b^3+c^3 = 3abc + ( (a+b+c)² - 3(a²+b²+c²) ) (a+b+c) /2

Puis il suffit de lancer le calcul avec le gros pavé du clavier :
a^3+b^3+c^3 = 3 * 440 + ( -24² + 3*210) 24/ 2 = 1968

Les deux millésimes encadrant $1968$ qui pourraient être solution de problème avec $a$, $b$ et $c$ distincts deux à deux et premiers entre eux globalement sont $1945=12^3+6^3+1^3$ et $2059=11^3+8^3+6^3$.
C’est donc assez rare, d’où la pertinence de proposer ce problème maintenant !
Plus proche de nous et sans contraintes sur $a$, $b$ et $c$, il y a tout de même $2017=11^3+7^3+7^3$.