Rappelons qu’un nombre est multiple de $11$ si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est un multiple de $11$.
Il faut donc répartir les cinq chiffres en deux ensembles $A$ et $B$ de sommes respectives $a$ et $b$ telles que $a \geq b$ et $a-b=11k$, avec $k \geq 0$, et de plus $A$ doit contenir $2$ ou $3$ nombres.
Pour chaque partition obtenue, il y a $2!=2$ permutations possibles des chiffres de rang pair et $3!=6$ permutations possibles des chiffres de rang impair, donc $2 \times 6 = 12$ combinaisons possibles au total.
On observe que $a+b=1+2+4+7+9=23$ donc en additionnant les équations on trouve $2a=23+11k$. On voit que $23+11k$ est pair donc $k$ est impair.
Mais $k < 3$ car $a-b<23$ et $11 \times 3 = 33$, donc la seule possibilité est $k=1$.
Alors $2a=34$, soit $a=17$.
Si $7$ n’est pas dans $A$ alors on obtient au mieux $a=9+4+2=15$, trop petit. Donc $A$ contient $7$, et a fortiori il contient aussi $9$.
Pour arriver à $17$ il faut encore ajouter $1$. On a donc $A=\{1,7,9\}$ pour les chiffres de rang impair, et $B=\{2,4\}$ pour les chiffres de rang pair.
Comme c’est la seule partition possible, la réponse est donc $12$ nombres :

$12749 = 11 \times 1159$
$12947 = 11 \times 1177$
etc.

La somme des 5 chiffres est 23.
Le critère de divisibilité par 11 est que la différence de la somme des termes de rang pair et de la somme des termes de rang impair doit être un multiple de 11.
23=a+b avec a-b=k×11.
23 n’est pair donc k=0 n’est pas possible.
k=1 donne a=17 et b=6.
Les chiffres de rang impair sont 1, 7 et 9.
Pour chaque premier chiffre de ce nombre à 5 chiffres, il y a 4 possibilités d’arranger les quatre autres (2×2).
Donc 3×4=12 possibilités.