23 juin 2018

17 messages - Retourner à l'article
  • Nombres puissants au bac S

    le 24 juin 2018 à 07:24, par Christian Aebi

    Bel article !
    Il y a juste une petite coquille 4 lignes sous l’équation (E) :
    $(x,y)=(3,1)$ est solution et non $(3,2)$

    Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S

      le 24 juin 2018 à 09:45, par Jérôme Germoni

      Merci ! Pour la coquille, je me suis embrouillé avec le $2$ de $3+2\sqrt2$. J’en profite pour évoquer une autre façon d’écrire l’équation, à savoir \[x^2-2\times(2y)^2=1.\] En posant $X=x$ et $Y=2y$, l’équation du sujet, qui est celle qu’évoque Mahler, décrit donc les solutions avec $Y$ pair et second membre positif de l’équation $X^2-2Y^2=\pm1$.

       

      Cette équation permet de résoudre deux jolis problèmes :

      • — quels sont les nombres triangulaires qui sont aussi carrés ?
      • — quels sont les nombres triangulaires dont le double est un nombre triangulaire ?

       

      Rappelons que le $k$-ième nombre triangulaire est $1+2+\cdots+k=k(k+1)/2$ ; le $\ell$-ième nombre carré est évidemment $\ell^2$. Il s’agit de résoudre les équations \[\frac{k(k+1)}2=\ell^2\quad\text{et}\quad\frac{k(k+1)}2=2\times\frac{\ell(\ell+1)}2.\] En chassant les dénominateurs (c’est naturel) puis en multipliant par $4$ (astuce !), on se ramène respectivement à \[(2k+1)^2-2\times(2\ell)^2=1\quad\text{et}\quad (2k+1)^2-2\times(2\ell+1)^2=-1.\] On peut paramétrer les solutions de ces équations par des suites analogues à celles du sujet, qui correspondent aux puissances de $1+\sqrt2$. Les puissances paires décrivent les nombres « triangulaires-carrés », les impaires les « ditriangulaires ». Par exemple, partant de $\bigl(1+\sqrt2\bigr)^4=17+12\sqrt2$, on pose $2k+1=17$ et $2\ell=12$, soit $k=8$ et $\ell=6$ : on a bien $\frac{8\times(8+1)}2=6^2$. Ou encore : partant de $\bigl(1+\sqrt2\bigr)^5=41+29\sqrt2$, on pose $k=20$ et $\ell=14$ et on a bien : $\frac{20\times(20+1)}{2}=2\times\frac{14\times(14+1)}{2}$.

      Pour plus de détails, j’ajoute un document à l’article.

      Répondre à ce message
      • Nombres puissants au bac S

        le 24 juin 2018 à 10:57, par Christian Aebi

        Deux références historiques en rapport avec les solutions de l’équation $x^2 -2y^2=\pm 1$ :

        • L. Euler : « Seconde question : Trouver tous les nombres triangulaires, qui sont en même temps des quarrés », Eléments d’Algèbre, 2e éd. 1798, §88, p. 105.
        • J. Ozanam : « Problème II : Trouver tant qu’on voudra de Triangles rectangles en nombres, dont les côtés ne different que de l’unité », Récréation Math. et Physique, éd. 1790, p. 48.

        Il y en a certainement de bien plus anciennes.

        Répondre à ce message
  • Nombres puissants au bac S

    le 24 juin 2018 à 20:57, par FDesnoyer

    Bonjour,

    la question était, certes, intéressante même si elle n’est que survolée dans le sujet, mais elle est surtout desservie par des questions passablement ineptes :
    « montrer que si x_n>0 alors x_n+1>x_n » ce qui n’est pas faisable par un élève de TS (normal) sans une indication ou alors sous une autre formulation
    « montrer que l’équation admet une infinité de solutions », ah ? et qui parmi les enseignants de Ts a déjà fait un VRAI cours sur les ensembles (infinis ou non) donnant des méthodes aux élèves pour répondre à ça ? on leur demande de mimer la démonstration de l’infinitude des nombres premiers et... ça manque d’élégance, non ?

    Bref, votre article m’aura appris plein de choses et m’en aura rappelé d’autres (comme les réduites de la fraction continue comme solutions de l’équation de Pell-Fermat), merci :-)

    Bonne journée

    F. Desnoyer

    Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S

      le 25 juin 2018 à 17:51, par Emmanuel Jacob

      Bonjour,

      Ce billet n’a nullement pour objet de juger de la qualité du sujet d’examen pour les élèves qui l’ont passé... et il ne me semble donc pas que ce soit le bon endroit pour en débattre.

      Une réaction, toute personnelle, à la deuxième “question inepte”, toutefois :
      Il s’agit de démontrer que l’équation a une infinité de solutions, sachant qu’on a déjà construit une suite strictement croissante de solutions...
      A priori, il faut donc surtout bien justifier que ces solutions sont distinctes, ce qui ne me semble pas infaisable pour un TS.
      Je ne vois pas de rapport avec une démonstration de l’infinitude des nombres premiers, qui fait intervenir un raisonnement par l’absurde ou du moins ne construit pas explicitement une suite infinie de nombres premiers.

      Enfin, il me semble qu’un élève peut tout à fait répondre à cette question sans avoir suivi de cours sur les ensembles, de même qu’un élève peut répondre à une question contenant des connecteurs logiques sans avoir suivi un cours de logique.

      Répondre à ce message
  • Proportion des nombres puissants « de Mahler »

    le 25 juin 2018 à 18:53, par Emmanuel Jacob

    Merci pour ce beau billet d’actualité !

    Comme question niveau bac +1, on pourrait montrer que $x_n$ est le plus petit entier plus grand que $(3+2\sqrt 2)^n/2$ (et qu’en fait la différence tend rapidement vers 0).
    Une conséquence est que si les paires $(x_n^2-1, x_n^2)$ ne représentaient pas asymptotiquement une proportion négligeable des paires de nombres puissants consécutifs, alors non seulement la conjecture d’Erdős serait vérifiée, mais en plus elle le serait avec $A=1$ !

    Répondre à ce message
  • Nombres puissants au bac S

    le 25 juin 2018 à 22:07, par projetmbc

    Bonsoir, sauf erreur de ma part, dans ce document perso, vous trouverez une solution élémentaire donnant la matrice A et donc la suite.

    Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S

      le 25 juin 2018 à 22:18, par projetmbc

      Je parle bien entendu de la matrice du sujet du BAC.

      Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S

      le 26 juin 2018 à 10:07, par Jérôme Germoni

      C’est astucieux.Pour une interprétation de ces calculs, je vais garder $(a,c)$ plutôt que $(c,d)$ pour paramétrer les solutions (parce qu’il est plus facile d’interpréter la première colonne d’une matrice que sa deuxième ligne dont on échange les coefficients). D’après vos calculs, pour chaque solution $\mathrm{a}=(a,c)$ de l’équation $x^2-8y^2=1$, on peut fabriquer une matrice $A=A_{a,c}=\left(\begin{smallmatrix}a&8c\\c&a\end{smallmatrix}\right)$ qui préserve l’ensemble des solutions : pour tout couple $\mathrm{x}=(x,y)$, on forme une nouvelle solution $\mathrm{a}*\mathrm{x}$, donnée par le vecteur-colonne $A\binom{x}{y}=\binom{ax+8cy}{cx+ay}$. Notez que la solution $\mathrm{e}=(1,0)$ correspond à la matrice identité et que $(a,-c)$ correspond à la matrice inverse de celle qui est associée à $(a,c)$. On peut montrer que l’opération $*$ est associative (voir ci-dessous).

      Au bilan, tout cela signifie que l’ensemble des solutions de $x^2-8y^2=1$ est muni d’une structure de groupe. Ce n’est pas de l’abstraction pour l’abstraction : en vous suivant, la structure est utilisée pour construire de nouvelles solutions à partir de solutions connues.

       

      Voici trois autres avatars de ce groupe. Matriciellement pour commencer. La colonne $\mathrm{a}=\binom{a}{c}$ peut être complétée de façon unique en la matrice $A$ ; de même, partant d’une solution quelconque $\mathrm{x}=\binom{x}{y}$, on forme la matrice $X=\left(\begin{smallmatrix}x&8y\\y&x\end{smallmatrix}\right)$. La nouvelle solution $\mathrm{a}*\mathrm{x}$ correspond à $AX$.

       

      Algébriquement, la matrice $A$ est la matrice de la multiplication par $a+2\sqrt{2}\,c$ ; le déterminant de $A$ est $1=a^2-8c^2=N\bigl(a+2\sqrt{2}\,c\bigr)$, ce qui explique l’inversibilité de cette opération. Le groupe des unités de $\mathbb{Z}\bigl[2\sqrt{2}\bigr]$ (éléments de norme $\pm1$) s’identifie aux matrices de la forme $\left(\begin{smallmatrix}a&8c\\c&d\end{smallmatrix}\right)$ et de déterminant $\pm1$. Cette matrice est la matrice de la multiplication par $a+2\sqrt{2}\,c$ dans la base $\bigl(1,2\sqrt{2}\bigr)$ (du $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z}\bigl[2\sqrt{2}\bigr]$).

       

      Pour la version géométrique, il faut constater que dans ce cadre, tout marche avec des coordonnées réelles quelconques, pas seulement entières. C’est en fait toute l’hyperbole qu’on peut transformer en groupe. Pour trouver $\mathrm{a}*\mathrm{x}$, on peut procéder ainsi. On trace la droite passant par $\mathrm{e}$ et parallèle à la droite $(\mathrm{a}\mathrm{x})$ : elle coupe l’hyperbole en deux points, $\mathrm{e}$ et $\mathrm{a}*\mathrm{x}$. Si $\mathrm{a}=\mathrm{x}$, il suffit de remplacer la droite $(\mathrm{a}\mathrm{x})$ par la tangente à l’hyperbole en $\mathrm{a}$.

      On reconnaît là la règle des tangentes et des sécantes pour une courbe elliptique, si ce n’est qu’ici la courbe elliptique dégénère en la réunion de notre hyperbole et de la droite à l’infini. (Jeu : que donne cette recette pour la parabole $y=x^2$ ou le cercle $x^2+y^2=1$ ?)

       

      Il y a là tout un dictionnaire entre ces trois versions du groupe. Par exemple, le passage à l’inverse $A\mapsto A^{-1}$ correspond à la « conjugaison » $a+2\sqrt2\,c\mapsto a-2\sqrt2\,c$, c’est-à-dire à la réflexion $(a,c)\mapsto(a,-c)$ par rapport à l’axe des $a$.

       

      Bref, on a avec cette équation $x^2-8y^2=\pm1$ un problème qui peut s’aborder de très nombreuses façons plus ou moins élémentaires. Ce qui donne l’unité de ces approches, c’est la structure de groupe qui se manifeste à travers plusieurs avatars.

      Répondre à ce message
      • Nombres puissants au bac S

        le 26 juin 2018 à 11:04, par projetmbc

        Pour la structure de groupe, c’est celle d’une conique me semble-t-il sauf erreur de ma part.

        PS abstrait : l’abstraction est la puissance des maths. J’adore !

        Répondre à ce message
      • Nombres puissants au bac S

        le 26 juin 2018 à 13:36, par Jérôme Germoni

        Accordons-nous sur le « la » : sur une conique donnée, il y a une structure de groupe définie par la règle des sécantes et des tangentes pour chaque point de la conique.

        Voyons d’où vient ce degré de liberté. Factorisons l’équation (décidément, c’est la clé de tout) : $\bigl(x+2\sqrt2\,y\bigr)\bigl(x-2\sqrt2\,y\bigr)=1$ et posons $(X,Y)=\bigl(x+2\sqrt2\,y,x-2\sqrt{2}\,y\bigr)$. Dans le repère dont les coordonnées sont $(X,Y)$, l’hyperbole a donc pour équation $XY=1$ et le point $\mathrm{e}=(1,0)$ a pour coordonnées $(1,1)$. On peut vérifier qu’avec la règle des sécantes et des tangentes, le produit de deux points ayant pour coordonnées $(X_1,Y_1)$ et $(X_2,Y_2)$ est celui de coordonnées $(X_1X_2,Y_1Y_2)$. Autrement dit, le groupe associé à l’hyperbole est isomorphe à $\mathbb{R}^*$ : à un réel non nul $X_1$, on associe le point de coordonnées $(X_1,Y_1)$ de l’hyperbole.

        À présent, choisissons $k$ non nul et faisons le changement de repère défini par $(X',Y')=\Bigl(k\bigl(x+2\sqrt2\,y\bigr),k\bigl(x-2\sqrt{2}\,y\bigr)\Bigr)$. Modifions la règle des sécantes et des tangentes en prenant, à la place de $\mathrm{e}$, le point $\mathrm{e}'$ qui a pour coordonnées $(X',Y')=(1,1)$ – dans ce nouveau repère. C’est une nouvelle structure de groupe sur la conique dont le neutre est $\mathrm{e}'$. En fait, choisir $k$, c’est équivalent à choisir $\mathrm{e}'$.

        Encore une fois, il est amusant de jouer au jeu des sécantes et des tangentes sur $y=x^2$ (avec $(0,0)$ pour neutre) et sur $x^2+y^2=1$ (avec $(1,0)$ pour neutre). Avec le premier, on constate que le groupe sous-jacent est $\mathbb{R}$ ; avec le second, c’est $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ (et on voit en prime les formules d’addition du cosinus et du sinus !).

        Revenons à notre hyperbole. Du point de vue de la conique réelle, toutes ces structures de groupe sont équivalentes (jeu : en voyant le groupe comme $\mathbb{R}^*$, comment passe-t-on de l’une à l’autre ?). En revanche, pour la géométrie arithmétique, qui s’intéresse aux points à coordonnées entières sur l’hyperbole, ce n’est pas le cas car en général, le changement de repère défini par $(X',Y')$ n’envoie pas un point à coordonnées entières sur un point à coordonnées entières : on perd cette structure (dite rationnelle). De plus, on perd le lien avec l’anneau $\mathbb{Z}\bigl[\sqrt2\bigr]$.

        Répondre à ce message
        • Nombres puissants au bac S

          le 27 juin 2018 à 11:05, par projetmbc

          Bien entendu mon LA était un LA du diapason des livres académiques sur les coniques. ;-)

          PS : en parlant de conique et de géométrie, je vous conseille « Newton implique Kepler : méthodes géométriques élémentaires pour l’enseignement supérieur en mathématiques », un excellent livre qui fait la part belle au raisonnement géométrique, un raisonnement qui est actuellement mis à mal dans les nouveaux programmes scolaires. Il y aurait tant à dire sur le tournant que l’on veut faire prendre aux maths actuellement mais ce n’est pas le lieu.

          Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S

      le 24 juin 2019 à 23:57, par projetmbc

      Je viens de mettre à jour une dernière fois mon petit document pour y introduire naturellement la construction géométrique.

      Ceci pourrait être un point d’entrée élémentaire vers la loi de groupe « naturelle » des courbes elliptiques.

      Lien : https://github.com/bc-writing/draft...

      Répondre à ce message
  • Nombres puissants au bac S - Pourquoi des canards ?

    le 27 juin 2018 à 11:26, par projetmbc

    Très joli PDF où tout soûle source sauf la référence aux canards. Quelqu’un a-t-il saisi ?

    Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S - Pourquoi des canards ?

      le 27 juin 2018 à 11:31, par projetmbc

      Est-ce une référence « visuel » qui plane un peu haut ?

      Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S - Pourquoi des canards ?

      le 27 juin 2018 à 13:53, par projetmbc

      Je voulais écrire tout coule de source et non tout soûle source .

      Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S - Pourquoi des canards ?

      le 27 juin 2018 à 21:32, par Jérôme Germoni

      Ah oui ! les canards ! Imaginez un vol de canards : le canard de tête, suivi par deux canards sur la deuxième ligne, trois sur la ligne suivante, etc. Tout à coup, un coup de vent divise le vol en deux groupes de même taille qui peuvent se reconstituer en vols de canards : combien peut-il y avoir de canards ?

      (Bon, c’est vrai que les canards volent plutôt en forme de V que selon l’arrangement des nombres triangulaires. Petite liberté des mathématiques face à l’éthologie pour motiver l’équation $\frac{m(m+1)}2=2\frac{\ell(\ell+1)}{2}$.)

      Répondre à ce message
Pour participer à la discussion merci de vous identifier : Si vous n'avez pas d'identifiant, vous pouvez vous inscrire.