20 août 2018

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    le 12 mars 2020 à 09:37, par Sidonie

    $(C)$ est le cercle circonscrit à ABC. D est un point quelconque, pas forcément intérieur à $(C)$ - extérieur à ABC.

    A chaque sommet (ici A) on associe un cercle (ici $(C_1)$) passant par D, par son symétrique F par rapport à (BC) et par E seconde intersection entre (AD) et $(C)$.

    Il faut prouver que G, second point d’intersection entre les 2 cercles appartient aux deux autres cercles associés à B et C (non tracé sur la figure).

    H et l’orthocentre de ABC, I et J sont les symétriques de G et H par rapport à (BC).

    On sait que J appartient à $(C)$ et par construction I appartient à $(C_1)$).

    J’utilise les angles orientés de droites.

    Avec $(C_1)$ on a (ID,IG) = (ED,EG)
    Avec $(C)$ on a (ED,EG) = (JA,JG)
    Les points G,I,H et J sont les sommets d’un trapèze isocèle, ils sont cocycliques et (JA,JG) = (IH,IG).

    L’égalité (ID,IG) = (IH,IG) prouve que H,D et I sont alignés. Autrement dit G est l’intersection entre $(C)$ et la symétrique de (HD) par rapport à (BC).

    Dans le 5.1.9 il est démontré que si 4 points sont cocycliques alors les symétriques de l’un par rapport aux 3 cotés du triangle formé par les 3 autres sont alignés sur une droite passant par l’orthocentre.

    Appliqué à G et ABC on obtient que les symétriques de (HD) par rapport à (AB) et à (AC) passent par G.

    Document joint : fsp_4.9.30.jpg
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