21 septembre 2018

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 21 septembre 2018 à 11:54, par Sidonie

    Le problème est équivalent à trouver a+b+c+d = 20 et a²+b²+c²+d² = 100 dont une réponse évidente est a = b = c = d = 5. Une autre solution s’écrirait a = 5 + x, b = 5 + y, c = 5 +z, d = 5 +u avec x + y + z + u =0. En élevant au carré et en sommant il vient x²+y²+z²+u²=0 ce qui implique x=y=z=0 et donc une seule solution.

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 21 septembre 2018 à 12:01, par Poss Jean-Louis

    Il est évident qu’une solution est : $a = b = c = d = 5$. Est-ce la seule ?

    Posons pour simplifier : $a = u + 5$, $b = v + 5$, $c = w + 5$ et $d = z + 5$. On obtient le système :

    $u+v+w+z = 0$

    $uv+uw+uz+vw+vz+wz+15(u+v+w+z) = 0$

    De la première équation on déduit : $z = −(u + v + w)$ et, en reportant, la deuxième équation donne :
    $u^2 +v^2 +w^2 +uv+vw+wu=0$.

    Transformons la forme quadratique $q = u^2 + v^2 + w^2 + uv + vw + wu$ en somme de
    carrés :

    $q = 􏰁(u+ \frac{v+w}{􏰂2})^2 −(􏰁v+\frac{w}{􏰂2})^2 +v^2 +w^2 +vw = (􏰁u+ \frac{v+w}{􏰂2})^2 + \frac{3}{4}(􏰁v+ \frac{w}{3})^2 + \frac{2}{3}w^2$

    Donc $q$ est positive ou nulle et s’annule seulement sur l’ensemble des nombres réels pour $u = v = w = 0$, ce qui donne $z = 0$.

    La seule solution réelle du système d’équations est donc :
    $(a,b,c,d) = (5,5,5,5)$.

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 21 septembre 2018 à 21:24, par bistraque

    Peut-être moins formel : intuitivement l’intersection d’un hyperplan et d’une d’hypershère en dimension n est soit vide, soit un point de tangence, soit une hypersphère de dimension n-1. Courbure tout ça ...

    En référence au commentaire de Sidonie ci-dessus, les solutions cherchées sont donc l’intersection de l’hypersphère S de rayon 10 centrée à l’origine et de l’hyperplan H d’équation « a+b+c+d=20 » dont la normale est donnée par u=(1/2, 1/2, 1/2, 1/2). Puisque la distance de H à l’origine = 10, H et S sont tangents, donc une seule solution : 10.u=(5, 5, 5, 5).

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    • Septembre 2018, 3e défi

      le 22 septembre 2018 à 23:35, par Sidonie

      Superbe démonstration de l’unicité. Bravo !

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 21 septembre 2018 à 21:31, par bistraque

    ... et j’oubliais bien sûr la généralisation :
    a+b+...+n = 20
    a²+b²+...+n² = 150

    en dimension 2 et 3 pas de solution, en dimension 4 une solution, en dimension n supérieure ou égale à 5 une hypersphère de dimension n-1

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    • Septembre 2018, 3e défi

      le 23 septembre 2018 à 11:35, par Sidonie

      Et en reprenant votre magnifique idée, si on note a1, a2, .....an les nombres cherchés, S leur somme et P la somme des aixaj avec i<j alors l’unicité est donnée pour P=Sx(n-1)/2n, aucune solution pour une valeur inférieure de P et votre fameuse hypersphère de dimension n-1 pour une valeur supérieure de P.

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 23 septembre 2018 à 11:42, par Pierre Cami

    Si a ,b, c, d réels on pose a=5+2*x, b=5+x, c=5-x et d=5-2*x, soit a+b+c+d=20
    ab+ac+ad+bc+bd+cd=25+25+25+25+255*x*x=150-5*x*x=150 soit x=0
    donc pas de solution autre qu’avec l’entier 5 et a=b=c=d=5.

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