$a+\frac{1}{b}=13\left (b+ \frac{1}{a}\right )\Leftrightarrow a(ab+1)=13b(ab+1)\Leftrightarrow a=13b$.

D’où 7 solutions : (13;1) , (26;2) , ... , (91;7).

Ouh la la comme elles n’aimaient pas les dénominateurs mes dominatrices professeures de mathématiques!!!
Donc pour supprimer 1/b et 1/a on multiplie par a*b ce qui donne a^2*b + a = 13/(b^2*a + b) ou a*(a*b + 1) = 13*b*(a*b + 1) ou (a*b + 1)/(a - 13*b) = 0 soit a - 13*b = 0 ou a = 13*b.
100/13 = 7 au % d’erreur près pour trouver l’entier le plus proche.
7 couples.