Il me semble avoir lu quelque part, que les résultats sur le quadrilatère complet pouvaient conduire à démontrer le théorème de Ceva (mais ai-je bien compris ?...). Ce qui revient à dire qu’une preuve évitant ce résultat devrait le démontrer de façon cachée !

.
Mais faire intervenir un quadrilatère complet aurait l’intérêt de donner un peu plus d’unité à tous ces problèmes du 4.12 ?

Une idée, qu’il faut « un peu » fignoler, je pense.
.
Je rajoute à ma figure les points M et N.

.
Considérons le quadrilatère complet $BKCFGA$. Les diagonales $CG$, $FK$ et $AB$ se coupent, formant des divisions harmoniques. Ainsi $CG$ coupe $FK$ et $AB$, les points $C, N, G, J$ formant une division harmonique.

.
De sorte que $(FB)$, $(FK)$, $(FA)$, $(FJ)$ forment un faisceau harmonique. Et on peut alors invoquer un théorème, qui affirme que :

.
« pour qu’un faisceau soit harmonique, il faut et il suffit qu’une parallèle à l’un des rayons soit divisée en deux parties égales par les trois autres ».

Donc, la parallèle à $(FB)$ menée de $A$ coupe les droites $(FJ)$ et $(FK)$ en segments égaux, c’est à dire $AE=AD$.

.
En fait, je montre là que si $G$ est sur $AF$, alors $EA=ED$. La figure propose une histoire différente, savoir $AE=AD$ $\Rightarrow $ $A, G, F$ alignés.

.
Mais le théorème est une cns, on doit donc pouvoir construire une preuve.

.
(j’ai retrouvé le théorème dans J. Hadamard , Géométrie élémentaire, vol. 1 (géométrie plane), 2ème édition — paragraphe 201, livre III, chapitre 3)