15 février 2019

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  • La tête à vingt degrés

    le 18 février 2019 à 14:00, par Al_louarn

    Bonjour et merci pour ce beau problème qui m’a occupé tout le week-end. Voici ma solution basée sur la loi des sinus et un peu de trigonométrie.

    Soit $T$ le symétrique de $F$ par rapport à l’axe de symétrie du triangle $ABC$.

    Dans le triangle $(BET)$ la loi des sinus donne $\dfrac{\sin \widehat{TBE}}{TE}=\dfrac{\sin \widehat{TEB}}{TB}$.
    On a $\widehat{TBE} = \widehat{TBF} - \widehat{EBF}$. On sait déjà que $\widehat{EBF} = 10°$, et par symétrie on a $\widehat{TBF}=\widehat{TAF}=20°$, donc $\widehat{TBE}=10°$.
    D’autre part $\widehat{TEB}=\widehat{AEB}= 180° - \widehat{EAB} - \widehat{ABE}$. On a $\widehat{EAB}=80°$, et comme $\widehat{ABE} = \widehat{ABC} - \widehat{EBC} = 80° - 10° = 70°$, on obtient $\widehat{TEB}=180°-80°-70°=30°$.
    Ce qui nous donne $\dfrac{\sin 10°}{TE}=\dfrac{\sin 30°}{TB}$, d’où $TE=TB\dfrac{\sin 10°}{\sin 30°}$.

    Dans le triangle $(FAT)$ la loi des sinus donne $\dfrac{\sin \widehat{FAT}}{FT}=\dfrac{\sin \widehat{FTA}}{FA}$.
    On sait que $\widehat{FAT}=\widehat{FAC}=20°$.
    D’autre part $\widehat{FTA}= 180° - \widehat{FTC}$. Mais $\widehat{FTC}=\widehat{BAC}=80°$ car $(FT)$ est parallèle à $(AB)$, donc $\widehat{FTA}= 180° - 80° = 100°$.
    Ce qui nous donne $\dfrac{\sin 20°}{FT}=\dfrac{\sin 100°}{FA}$, d’où $FT=FA\dfrac{\sin 20°}{\sin 100°}$.

    Par symétrie $TB=FA$ donc $\dfrac{FT}{TE}=\dfrac{\sin 30° \sin 20°}{\sin 10° \sin 100°}$.
    On se souvient que $sin(90°+x°)=cos(x°)$ donc $\sin 100° = \cos 10°$.
    De plus il est bien connu que $\sin 30° = 1/2$
    Ce qui donne $\dfrac{FT}{TE}=\dfrac{\sin 20°}{2 \sin 10° \cos 10°}$.
    En appliquant la formule $\sin{2x} = 2 \sin{x} \cos{x}$ à $x=10°$ nous obtenons $\dfrac{FT}{TE}=1$.

    Nous avons établi que le triangle $(FTE)$ est isocèle en $T$ donc $\widehat{TEF}=\dfrac{180° - \widehat{ETF}}{2}$. Mais $\widehat{ETF}=\widehat{CAB}=80°$ donc $\widehat{TEF}=50°$.
    Finalement $\widehat{BEF}=\widehat{TEF}-\widehat{TEB}=50°-30°=20°$.

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