J’ai tenté quelque chose de très calculatoire, mais qui n’aboutit pas à une solution satisfaisante...

Posons $r = \dfrac pq$ avec $p$ et $q$ des entiers strictement positifs et tels que $p \ge q$. On peut en effet imposer $r \ge 1$ sans perdre de généralité, sinon il suffit de considérer $\dfrac 1r$ qui remplit la condition vu la symétrie du problème.

Alors $r + \dfrac 1r = \dfrac pq + \dfrac qp = \dfrac{p²+q²}{pq}$.

Si cette somme est entière, alors il existe $k$ entier strictement positif tel que

$p² + q² = k pq$, qui est un polynôme du second degré en $p$. On peut noter la symétrie entre $p$ et $q$ qui peuvent échanger les rôles.

Le discriminant vaut $\Delta = (kq)² - 4q²$.

Pour $k>= 2$, on obtient alors $p = \dfrac{kq + \sqrt\Delta}2 = \dfrac q2 (k+\sqrt{k² - 4})$

Il reste à prouver que ce nombre $p$ n’est entier que pour $k = 2$ (ce qui au passage donne $r = 1$).
Le cas $k = 1$ reste aussi à traiter !

Et vice versa.