8 de marzo de 2019

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  • Mars 2019, 2e défi

    le 8 de marzo de 2019 à 13:30, par Nico

    J’ai tenté quelque chose de très calculatoire, mais qui n’aboutit pas à une solution satisfaisante...

    Posons $r = \dfrac pq$ avec $p$ et $q$ des entiers strictement positifs et tels que $p \ge q$. On peut en effet imposer $r \ge 1$ sans perdre de généralité, sinon il suffit de considérer $\dfrac 1r$ qui remplit la condition vu la symétrie du problème.

    Alors $r + \dfrac 1r = \dfrac pq + \dfrac qp = \dfrac{p²+q²}{pq}$.

    Si cette somme est entière, alors il existe $k$ entier strictement positif tel que

    $p² + q² = k pq$, qui est un polynôme du second degré en $p$. On peut noter la symétrie entre $p$ et $q$ qui peuvent échanger les rôles.

    Le discriminant vaut $\Delta = (kq)² - 4q²$.

    Pour $k>= 2$, on obtient alors $p = \dfrac{kq + \sqrt\Delta}2 = \dfrac q2 (k+\sqrt{k² - 4})$

    Il reste à prouver que ce nombre $p$ n’est entier que pour $k = 2$ (ce qui au passage donne $r = 1$).
    Le cas $k = 1$ reste aussi à traiter !

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La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.