La probabilité est de $\frac{7}{13}$, soit environ $0,54$.

Démonstration :
(proba que l’habitant soit un pire sachant qu’il a dit oui) = (proba que l’habitant soit un pire et qu’il dise oui) / (proba que l’habitant dise oui)
$ $
Le numérateur :
(proba que l’habitant soit un pire et qu’il dise oui) = (proba que l’habitant soit un pire et qu’il dise la vérité)
= (proba que l’habitant soit un pire) * (proba que l’habitant dise la vérité sachant qu’il est un pire)
= (7/10) * (5/100)
=35/1000
$ $
Le dénominateur :
(proba que l’habitant dise oui) = (proba que ce soit un pire et qu’il dise vrai, ou alors que ce soit un pur et qu’il dise faux)
= (proba que ce soit un pire qui dit vrai) + (proba que ce soit un pur qui dit faux)
= (35/1000) + (proba que ce soit un pur)*(proba qu’il dise faux sachant que c’est un pur)
= (35/1000) + (3/10)*(10/100)
= 65/1000
$ $
La probabilité recherchée est donc
(35/1000) / (65/1000) = 35/65 = 7/13

Pour répondre « oui » à la question « es-tu un pire », un pire doit dire la vérité et un pur doit mentir.

Pour les pires cela se produit globalement : 7 / 10 * 1 / 20, soit 7 (fois sur) / 200
et pour les purs : 3 / 10 * 1 / 10, soit 3 / 100 ou 6 / 200

Ainsi donc 13 / 200 (7 / 200 + 6 / 200) pires et purs ensemble répondront « oui » à cette question.

Probabilité pour qu’il soit un pire : 7 / 200 / 13 / 200, soit 7 / 13, env. 53.84 %