19 avril 2019

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  • Avril 2019, 3e défi

    le 19 avril 2019 à 12:18, par Celem Mene

    On commence par mettre en évidence n :

    n (n² - 1)

    on s’aperçoit alors qu’on peut écrire :

    n (n + 1) (n - 1)

    C’est la multiplication de trois entiers successifs entre eux.

    Au moins l’un d’eux sera pair, et un autre multiple de trois.

    Le plus grand diviseur commun est donc 6.

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    • Avril 2019, 3e défi

      le 19 avril 2019 à 14:50, par Didier Roche

      Soit D un diviseur commun.
      D=1 convient.
      Si Dest différent de 1 alors D admet une décomposition en facteurs premiers.
      Soit p^a un de ses facteurs.
      p^a divisera (p^a+2)^3-(p^a+2)=(p^a+2)(p^a+1)(p^a+3)
      Comme p^a et p^a+1 sont premiers entre eux ,d’après le théorème de Gauss alors p^a divise (p^a+2)( p^a+3)
      Comme p est un nombre premier alors p^a divisera p^a+2 ou p^a+3.
      Donc p^a divisera 2 ou 3.
      D’où a=0 et p=2 ou 3
      Donc la décomposition de D en facteurs premiers est 2*3.
      S’il existe un plus grand diviseur commun ce sera 6.
      Ensuite on vérifie que 6 convient (voir message de Celem Mene)

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    • Avril 2019, 3e défi

      le 24 avril 2019 à 18:41, par Daniate

      En toute rigueur vous démontrez que 6 est un diviseur commun. Pour être le plus grand on considère n=2 qui donne A=6 donc aucun autre diviseur commun ne peut être supérieur à 6.

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  • Avril 2019, 3e défi

    le 21 avril 2019 à 10:46, par LALANNE

    L’ensemble A est l’ensemble des nombres obtenus avec le produit de trois entiers successifs (n-1)n(n+1).
    Chaque nombre contient donc un et un seul multiple de 3 , et un ou deux multiples de 2.
    Le plus grand diviseur des nombres de l’ensemble A est 6.

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