Un trapèze ABCD, sur les diagonales AC et BD je place deux points N et M, tels que les angles BND et CMA soient égaux.

Alors, les points B,C,N,M sont cocycliques.

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Une idée, prendre le problème à l’envers: placer le point sur le cercle et montrer que c’est le bon.

Je trace le cercle passant par B, C et N. Il coupe BD en M’.

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Les triangles HCB et HM’N semblables. Comme HCB et HAD sont semblables, alors HM’N et HAD semblables, HM’/HA=HN/HD, HN*HA=HM’*HD, ce qui implique que A, N, M’, D soient sur un même cercle (le produit étant la puissance de H par rapport au cercle)

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Donc les angles AND et AM’D sont égaux, soit CND=BM’A.
On en tire BND=BNC+CND=BM’C+BM’A

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Finalement BND=CM’A. Les points M et M’ sont sur BD, et tels que CMA=CM’A, ils sont confondus

Cent fois sur le métier...

Cent fois sur le métier...

Si je comprends bien la remarque, une fois établie l’égalité des angles AM’C et BND, la conclusion «et donc M et M’ sont confondus» est ... légère ?

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Effectivement, c’est sûrement rapide. En fait, une preuve solide aurait procédé autrement, en montrant directement que CMA=BND entrainait, par exemple BNC=BMC.

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Ceci étant, je ne sais pas trop comment corriger. La mise en oeuvre d’angles orientés pourrait-elle faire avancer ? Mais je suis un peu démuni,là.

Autre idée, tirer parti de la similitude des triangles CM’A et BND. Mais j’ai peur de tomber dans le même travers

Les messages ne voyagent pas toujours comme on le croirait ! Pour les \machinchose, c’est laborieux si on n’utilise pas un logiciel adhoc (j’utilise winedt, mais il y en a d’autres).

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Pour la «mauvaise foi», je n’oserais pas penser ça! Je me contenterai de «rigueur mathématique attentive à toute faiblesse dans le raisonnement» ! Les angles orientés me font un peu peur — comme les vecteurs, dont ils sont issus. J’ai toujours l’impression qu’on me sort un lapin d’un chapeau.

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Mais je conçois qu’il s’agit là d’une lacune dans mes connaissances. J’essaie de me documenter et de comprendre. Il y a du travail...

Puisque les points $A, B, C, D$ sont cocyclique, on écrira $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})$. Mais $(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{DF},\overrightarrow{DE})$.

Je comprends que ces «angles» notent les positions relatives des deux droites — donc pas de problème.
Mais dans le triangle $DEF$, ça coince ! Et puis, à cause des angles droits, la géométrie traditionnelle affirme que $\widehat{ABC}=\widehat{CDE}$ — soit $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC})$.

Comment éviter alors d’écrire $(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{DF},\overrightarrow{DE})$ , soit
$\widehat{CDE}=\widehat{FED}$ ?

En clair, je ne maîtrise pas du tout. J’essaie de lire et relire Michèle Audin, sans succès