12 août 2019

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  • 5.3.1

    le 12 août 2019 à 12:41, par Sidonie

    Deux carrés ABCD et BEGF sont tels que B appartient à [AE] et G appartient à [BC]. (AC) et (EG) se coupent en H et (AG) et (EC) se coupent en I. Il faut démontrer que D,H,I et F sont alignés.

    On trace les cercles (C),(C’) et (C’’) circonscrits à ABCD,BEFG et AEC. (C") coupe (CD) en J.

    (AC) et (EG) sont perpendiculaires de même que (AE) et (BC) ce qui fait de E l’orthocentre de AEC dont le symétrique par rapport (AC) appartient à (C") mais aussi à (CD) c’est donc J. H est alors le mileu de [EJ] de plus JD = GD = GF , (JD)//(GF) fait de DGFJ un parallélogramme dont le centre H est le milieu de [DF] d’où alignement D,H et F.

    Dans (C) (AC) est un diamètre et (AI) perpendiculaire à (CI) donc I est un point de (C).
    Dans (C’) (EG) est un diamètre et (EI) perpendiculaire à (GI) donc I est un point de (C’).

    (BD) et (BF) étant eux même des diamètre il vient (DI) et (FI) perpendiculaires à (BI) d’où alignement D,I et F.

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    • 5.3.1

      le 13 août 2019 à 11:53, par Hébu

      Oui ! Preuve très élégante, qui doit sûrement être celle qu’attendent les dieux de la géométrie — en particulier, elle met en avant les propriétés des quadrilatères.

      J’avais une attaque bien moins élégante — on peut assez facilement calculer les longueurs des différents segments, et par là établir des similitudes de triangles , d’où les angles entre DF, HF ou IF et GF (ce qui revient à calculer les tangentes).

      Mais c’est définitivement moins géométrique.

      Bravo donc !!!

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  • 5.3.1

    le 13 août 2019 à 11:57, par Hébu

    A tout hasard, la figure pour compléter — je n’ai pas réussi à la refaire telle quelle je crois.

    Document joint : idm5-3-1.png
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