27 de septiembre de 2019

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  • Septembre 2019, 4e défi

    le 27 de septiembre de 2019 à 10:22, par François

    La solution est 19.
    En effet si $d$ est un diviseur de $X_{n+2}$ et de $X_{n+1}$, il divise aussi $X_{n}$. Il divise donc $X_{1} = 19$ et $ d = 1$ ou $19$. Comme $X_{2} = 95 = 19*5$, $19$ divise tous les $X_{n}$, $X_{n} = 19k_{n}$ avec la suite $k_{n}$ croissante et vérifiant $k_{1} = 1 ,\ k_{2} = 5$ et $k_{n+2} = k_{n+1} + k_{n}$.

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    • Septembre 2019, 4e défi

      le 27 de septiembre de 2019 à 10:37, par François

      errata sur la formule de récurrence des $k_{n}$ : $k_{n+2} =$[$k_{n+1}$,$k_{n}$] + $k_{n}$.

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    • Septembre 2019, 4e défi

      le 27 de septiembre de 2019 à 16:43, par Niak

      Sauf erreur, vous démontrez que $19$ est un diviseur commun mais pas forcément le plus grand. Pour cela, il suffirait par exemple démontrer que $k_n$ et $k_{n+1}$ sont toujours premiers entre-eux. Cela se vérifie aisément par récurrence: $k_1 = 1$, $k_2 = 5$ et l’on a $k_{n+2}=[k_{n+1},k_n]+k_n = k_{n+1}\times k_n + k_n$ car $k_{n+1}$ et $k_n$ sont premiers entre-eux par hypothèse de récurrence.
      D’où $\text{PGCD}(k_{n+2},k_{n+1})=\text{PGCD}(k_{n+1}k_n+k_n,k_{n+1})=\text{PGCD}(k_n,k_{n+1}) = 1$ par hypothèse de récurrence.

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      • Septembre 2019, 4e défi

        le 27 de septiembre de 2019 à 17:49, par François

        Je pensais qu’il était clair que tout diviseur de $X_{n+2}$ et de $X_{n+1}$ était aussi diviseur de $X_{1} = 19$, donc que le pgcd était soit $1$ ou $19$.
        Ceci dit on a bien $k_{n+2} = k_{n}(k_{n+1}+1)$. En passant au log cela donne :
        $\ln(k_{n+2}) = \ln(k_{n+1}) +\ln(k_{n}) +\ln(1+ \frac {1} {k_{n+1}})$. Comme $\lim k_n = \infty$, cela implique que la suite $\ln(k_{n})$ est très proche d’une suite de Fibonacci. Effectivement à partir de $n = 10$ le rapport entre $\ln(k_{n})$ et la suite de Fibonacci $F_{n}$ vérifiant $F_{10} = \ln(k_{10})$ et $F_{11}=\ln(k_{11})$ vaut $1$ à $10^{-30}$ près.

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        • Septembre 2019, 4e défi

          le 27 de septiembre de 2019 à 23:55, par Niak

          En effet, vous avez raison, c’était très clair ! J’ai dû lire votre premier message un peu trop vite...

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