27 de septiembre de 2019

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  • Septembre 2019, 4e défi

    le 27 de septiembre de 2019 à 16:43, par Niak

    Sauf erreur, vous démontrez que $19$ est un diviseur commun mais pas forcément le plus grand. Pour cela, il suffirait par exemple démontrer que $k_n$ et $k_{n+1}$ sont toujours premiers entre-eux. Cela se vérifie aisément par récurrence: $k_1 = 1$, $k_2 = 5$ et l’on a $k_{n+2}=[k_{n+1},k_n]+k_n = k_{n+1}\times k_n + k_n$ car $k_{n+1}$ et $k_n$ sont premiers entre-eux par hypothèse de récurrence.
    D’où $\text{PGCD}(k_{n+2},k_{n+1})=\text{PGCD}(k_{n+1}k_n+k_n,k_{n+1})=\text{PGCD}(k_n,k_{n+1}) = 1$ par hypothèse de récurrence.

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