27 septembre 2019

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  • Septembre 2019, 4e défi

    le 27 septembre 2019 à 17:49, par François

    Je pensais qu’il était clair que tout diviseur de $X_{n+2}$ et de $X_{n+1}$ était aussi diviseur de $X_{1} = 19$, donc que le pgcd était soit $1$ ou $19$.
    Ceci dit on a bien $k_{n+2} = k_{n}(k_{n+1}+1)$. En passant au log cela donne :
    $\ln(k_{n+2}) = \ln(k_{n+1}) +\ln(k_{n}) +\ln(1+ \frac {1} {k_{n+1}})$. Comme $\lim k_n = \infty$, cela implique que la suite $\ln(k_{n})$ est très proche d’une suite de Fibonacci. Effectivement à partir de $n = 10$ le rapport entre $\ln(k_{n})$ et la suite de Fibonacci $F_{n}$ vérifiant $F_{10} = \ln(k_{10})$ et $F_{11}=\ln(k_{11})$ vaut $1$ à $10^{-30}$ près.

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